2008年量子力学导论期末考试(A卷) 姓名 学号: 班级 警示 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条:“考试作弊不授予学士学位。” (提醒:答案一律写在答题纸上,考试完毕后,试题、答卷纸全部上交!否则不记分!) 一、(15分)利用 Schrodinger方程证明非相对论量子力学中的几率守恒定律: ap +v.j=0 其中p(,t)=y(,ty(r,t,j=vy-yvy) 2m 二、(15分)已知非相对论自由粒子的传播子为 73/2 G(F, t; P', t =-i m m (F-F)2 [2rh(t-1)][ 2h t-t' 试证明:它满足 Schrodinger方程,即 ih oG(,, " _hvG(,,,) at 2m 三、(20分)设粒子处于宽度为L(其中L>0)的一维无限深方势阱中 V(x)=|x</2 +∞0,x|>/2 求粒子的能量本征值和本征波函数。 四、(20分)设质量为m的粒子(能量E>0)由左入射,碰到δ势垒: V(x)=y(x),其中常数y>0 求透射系数和反射系数。 五、(15分)运用测不准原理,证明一维谐振子的基态能量不能为零。 六、(15分)写出角动量算符分量之间的对易关系。并证明: 2,=2,,=2,=0其中2=2+,2+22008 年量子力学导论期末考试（A 卷） 姓名: 学号: 班级 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位。” (提醒：答案一律写在答题纸上，考试完毕后，试题、答卷纸全部上交！否则不记分!) 一、（15 分）利用 Schrodinger 方程证明非相对论量子力学中的几率守恒定律： J 0, t ∂ρ + ∇⋅ = ∂ G 其中 ρ( , ) ( , ) ( , ), rt rt rt ∗ =Ψ Ψ G GG ( ) 2 i J m − ∗ ∗ = Ψ ∇Ψ − Ψ∇Ψ G = 二、（15 分）已知非相对论自由粒子的传播子为 3/2 2 ( ) ( , ; , ) exp 2( ) 2 m mr r Gr t r t i i π tt tt ⎡ ⎤ ⎡ − ′ ⎤ ′ ′ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − ′ ′ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ G G G G = = 试证明：它满足 Schrodinger 方程，即 2 2 (,; , ) (,; , ) 2 r Gr t r t i Gr t r t t m ∂ ′ ′ =− ∇ ′ ′ ∂ G G G = G G = 三、（20 分）设粒子处于宽度为 L （其中 L > 0 ）的一维无限深方势阱中 0, / 2 ( ) , / 2 x L V x x L ⎧ < = ⎨ ⎩+∞ > 求粒子的能量本征值和本征波函数。 四、（20 分）设质量为 m 的粒子（能量 E > 0 ）由左入射，碰到δ 势垒： Vx x () () = γ ⋅δ ，其中常数γ > 0 求透射系数和反射系数。 五、（15 分）运用测不准原理，证明一维谐振子的基态能量不能为零。 六、（15 分）写出角动量算符分量之间的对易关系。并证明： lll 222 ˆˆˆ [, ][, ][, ]0 LL LL LL xyz === 其中 l2 222 ˆˆˆ LL L L ≡++ x y z 警示