习题12.3 Taylor公式 1.对函数f(x,y)= sin x cos y应用中值定理证明:存在θ∈(,1),使得 3_z 证设(x)=(0.).(△xAy)=(3 z,z),对函数f(x,y)= SIn x cos y应用微分 中值定理(即k=0时的 Taylor公式),可知存在∈(O,1),使得 3-ft f(。22)-f(0,0)=f,(ONx,的y)Ax+f,(Ox,的y)A sin-sin 2.写出函数f(x,y)=3x3+y3-2x2y-2xy2-6x-8y+9在点12)的 Taylor 展开式 解f(x,y)=3(x-1)++[(y-2)+2-2(x-1)+(y-2)+2] 2(x-1)+1](y-2)+2]2-6(x-1)+11-8(y-2)+2]+9 -14-13(x-1)-6(y-2)+5(x-1)2-12(x-1)(y-2)+4(y-2) +3(x-1)3-2(x-1)2(y-2)-2(x-1)(y-2)2+(y-2)3 注本题也可设u=x-1,v=y-2,于是 f(x,y)=f(u+1,v+2) =3(+1)+(v+2)3-2(u+1)2(v+2)-2(u+1)(v+2)2-6(u+1)-8(v+2)+9 展开后再用u=x-1,v=y-2代换回来 3.求函数f(x,y)= sin x In(+y)在(0.0)点的 Taylor展开式(展开到三阶 导数为止)。 解f(x,y)=(x +O(y)) 4.求函数f(x,y)=e在(0,0)点的n阶 Taylor展开式,并写出余项 解f(x,y)=1+(x+y)+(x+y)2+…+-(x+y)”+Rn,习 题 12.3 Taylor 公式 1. 对函数 f (x, y) = sin x cos y 应用中值定理证明：存在θ ∈ (0, 1)，使得 6 sin 3 sin 6 6 cos 3 cos 4 3 3 π πθ πθ π πθ πθ = − 。 证 设 0 0 ( , ) (0,0), ( , ) ( , ) 3 6 x y x y π π = ∆ ∆ = ，对函数 f (x, y) = sin x cos y 应用微分 中值定理（即k = 0时的 Taylor 公式），可知存在θ ∈ (0, 1)，使得 3 (,) (0,0) 4 3 6 f f π π = − = ( , ) ( , ) x y f θ∆x y θ θ ∆ ∆x + f ∆x y θ∆ ∆y cos cos sin sin 3 3 6 6 3 6 π πθ πθ π πθ πθ = − 。 2. 写出函数 在点 的 Taylor 展开式。 ( , ) 3 2 2 6 8 9 3 3 2 2 f x y = x + y − x y − xy − x − y + (1,2) 解 3 3 2 f x( , y) = − 3[(x 1) +1] +[( y − 2) + 2] − − 2[(x 1) +1] [( y − 2) + 2] 2 − − 2[(x y 1) +1][( − 2) + 2] −6[(x y − + 1) 1]−8[( − 2) + 2]+ 9 2 2 = −14 −13(x y −1) − 6( − 2) + 5(x −1) −12(x −1)( y − 2) + 4( y − 2) 3 2 2 3 + 3(x −1) − 2(x −1) ( y − 2) − 2(x −1)( y − 2) + ( y − 2) 。 注 本题也可设u x = −1, v = y − 2 ，于是 f x( , y) = + f (u 1, v + 2) 3 3 2 2 = + 3(u v 1) + ( 2 + ) − + 2(u 1) (v + 2) − 2(u +1)( 2 v + ) − 6(u +1) −8( 2 v + ) + 9， 展开后再用u x = −1, v = y − 2 代换回来。 3. 求函数 在 点的 Taylor 展开式（展开到三阶 导数为止）。 f (x, y) = sin x ln(1+ y) (0,0) 解 3 2 3 3 3 ( , ) ( ( ))( ( )) 6 2 3 x y y f x y = −x + o x y − + + o y ( ) 1 2 2 2 ( ) 2 = − xy xy + o x + y 3 。 4. 求函数 f (x, y) = ex+ y 在(0,0) 点的n阶 Taylor 展开式，并写出余项。 解 n n x y R n f x y = + x + y + x + y + + ( + ) + ! 1 ( ) 2! 1 ( , ) 1 ( ) 2 " , 1