XI-EX X.-EX (X1-EX, X2-EX2,",X-EX) coV(X,, X, cov(X,, X2)...COV(X,Xn) cov(X2, XI cov(X2,X2).cOV(X2,Xn) cov(Xn,X1)cov(Xn,X2)……cov(xn,Xn 4O21a2 00 2 协方差阵∑是一个对称非负定矩阵。 n维正态分布:X(X1,X2,…,X1)~N(∑) ∑ ∑ 其中x=(x,x2…,xn) 例3.24:设XN(4,a12),Y~N(A2,G2) 且X,Y独立,令U=x+,V=X-。求Pu 解:EU=1+2,EV=山1-2 DU=o+ D EUV=E(X-Y)=EX-EY=DX+(EX)-[Dr +(Ey] =a2+12-(a2+m2) Cov(U, )=EUV-EUEV=01-02 cov DU√Da2+a2= ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − n n n n X EX X EX X EX X EX X EX X EX E , , , 1 1 2 2 2 2 1 1 " # = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ cov( , ) cov( , ) cov( , _ cov( , ) cov( , ) cov( , ) cov( , ) cov( , ) cov( . ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n X X X X X X X X X X X X X X X X X X "" # # # # "" "" ∑ ∆ ∆ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n n nn n n σ σ σ σ σ σ σ σ σ "" # # # # "" "" 1 2 21 22 2 11 12 1 协方差阵∑ 是一个对称非负定矩阵。 n 维正态分布： ( , , , ) ( , ). 1 2 ∑ Τ X～ X X " Xn ～Nn µ ∑ = − − − Τ − ∑ [( ) ( )] 2 1 2 1 2 1 (2 ) | | 1 ( ) µ µ π x x n X～p x e 其中 Τ = ( , , , ) 1 2 n x x x " x 例 3.24：设 ( , ) , ( , ) 2 2 2 2 X～N µ1 σ1 Y～N µ σ 且 X,Y 独立，令U = X + Y, V = X − Y 。求 ρ UV 。 解： 1 2 1 2 EU = µ + µ , EV = µ − µ 2 2 2 1 2 2 2 1 DU = σ +σ , DV = σ +σ 2 2 2 2 EUV = E(X − Y ) = EX − EY = ( ) [ ( ) ] 2 2 DX + EX − DY + EY = ( ) 2 2 2 2 2 1 2 σ1 + µ − σ + µ 2 2 2 1 cov(U,V ) = EUV − EUEV = σ −σ 2 2 2 1 2 2 2 1 cov( , ) σ σ σ σ ρ + − = = DU DV U V U V