章定积分 (2)任意取ξ;∈[x-1,x](=1,2,…,n),构造和式 n(P)=∑f(5)△ 其中,Ax1=x1=x-1 =max{△x;} 如果和式极限=lmn∑f(;)Ax 存在,则称函数∫(x)在[a,b(黎曼)可积,记作∫∈Ra,b]该极 限值称为f(x)在[a,b]的定积分(值),记为: =m∑/()A=「/(x 经常用到的述语: f(x):被积函数;[a,b]积分区间 a,b分别称为积分上、下限 f(x)dx:被积分式x:积分变量 由上述定义可知,黎曼积分是一个特殊的极限,这个极限过程以 较复杂,变化过程是指所有子区间[x1-1,x,]的最大长度λ趋向于零.其 极限的存在与任何分划P和任何取法5∈[x21x]都没有关系。 (二)例1求∫ Sinner=? 解:(1)做等分划:将[O,]n等分,今Ax==h,取5=A△x 做和式:S,=Ss()x=sm( k=0 因有:Sm(kh)= 2k-1 2k+1 k+1 OS 2 Sir h OS h=x/2 第六章定积分第六章 定积分 第六章 定积分 (2) 任意取 [ , ] ( 1,2, , )  i  xi−1 xi i =  n , 构造和式 ( ) = =  n i n i i I P f x 1 ( ) , 其中，  i = i − i−1 x x x .  = max{ }i i x 如果和式极限 = → =  n i i i I f x 1 0 lim ( )  存在, 则称函数 f (x) 在 [a, b] (黎曼)可积, 记作 f  R[a, b].该极 限值称为 f (x) 在 [a, b] 的定积分(值), 记为：   =  = = → b a n i I lim f ( i ) xi f (x)dx 1 0   . 经常用到的述语： f (x) : 被积函数; [a,b] 积分区间， a, b 分别称为积分上、下限; f (x)dx : 被积分式, x : 积分变量。 由上述定义可知, 黎曼积分是一个特殊的极限, 这个极限过程以 较复杂, 变化过程是指所有子区间 [ , ] i 1 i x x − 的最大长度  趋向于零. 其 极限的存在与任何分划 P 和任何取法  i  [ , ] i 1 i x x − 都没有关系。 (二)例 1 求  2 0  Sinxdx =? 解：(1) 做等分划：将 ] 2 [0,  n 等分, 今 n x 2   = = h , 取 k x  k =  ; 做和式：  ( )  ( ) − = − = =   =  1 0 1 0 2 n k n k n Sin k x n S Sin k x x  ; 因有： ( )       + − − = h k h Cos k Cos h Sin Sin k h 2 2 1 2 2 1 2 2 1 , =       + − − = n k n h k h Cos k Cos h Sin S 0 2 2 1 2 2 1 2 2 1 =       − − h n Cos h Cos h Sin h 2 2 1 2 2 2 ; h =  2n