In(1+x)dx 解(1)当n≥2,有 -dx 2xdx 由于∑n收敛,所以∑后1口x dx收敛。 d x> xdx 由于∑发散,所以mx2dx发散 Xax=- 由于∑1收敛,所以∑m(+x)dx收敛。 5.利用不等式1<[X<1,证明: n n +--Inn 23 存在(此极限为 Euler常数γ—见例248) 证设xn=1+2+3n lnn,则 I d -In(n+1)+Inn dx rdx Idx ndx n+idx x 所以数列{xn}单调减少有下界,因此收敛 6.设∑xn与∑y是两个正项级数,若im=0或+∞,请问这两个 级数的敛散性关系如何? 解若imy=0,则当n充分大时有xn<n,所以当∑y收敛时∑x必 Vn 定收敛,当∑xn发散时∑y必定发散(3) ∑∫ ∞ = + 1 1 0 ln(1 ) d n n x x。 解 (1) 当n ≥ 2，有 ∫ − n dx x x 1 0 1 n n n xdx 1 2 1 0 < ∫ < ， 由于 ∑ ∞ =1 1 n n n 收敛，所以∑∫ ∞ =1 − 1 0 d n 1 n x x x 收敛。 (2) ∫ π π n n dx x 2 x 2 2 sin > ∫ π π π n n xdx n 2 2 2 2 sin 4 1 8nπ 1 = ， 由于 ∑ ∞ =1 8 1 n nπ 发散，所以 ∑∫ ∞ =1 2 2 2 d sin n n n x x π x π 发散。 (3) ∫ n + x dx < 1 0 ln(1 ) 2 1 0 2 1 n n xdx ∫ = ， 由于 ∑ ∞ =1 2 2 1 n n 收敛，所以∑∫ ∞ = + 1 1 0 ln(1 ) d n n x x收敛。 5. 利用不等式 1 1 n + ＜∫ n+1 d n x x ＜ n 1 ，证明： lim n→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + − n n ln 1 3 1 2 1 1 " 存在(此极限为 Euler 常数γ — 见例 2.4.8)。 证 设 n n xn ln 1 3 1 2 1 = 1+ + +"+ − ，则 n n n x x n n ln( 1) ln 1 1 1 − + + + + − = − + = 1 1 n ∫ n+1 d n x x < 0， xn > ∫ + 2 1 d x x ∫ +"+ 3 2 d x x ∫ n+1 d n x x − ∫ n x x 1 d ∫ + = n 1 d n x x > 0， 所以数列{xn }单调减少有下界，因此收敛。 6. 设∑ 与 是两个正项级数，若 ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 n y lim n→∞ n n y x = 0 或+∞，请问这两个 级数的敛散性关系如何? 解 若lim n→∞ n n y x =0，则当n充分大时有 n n x < y ，所以当 收敛时 必 定收敛，当 发散时 必定发散； ∑ ∞ n=1 n y ∑ ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 n y 5