例1G={所有不等于零的整数}对于普通乘法满足1、Ⅱ、Ⅲ,但它不适合Ⅲ:因为3=2无解 定理1一个有乘法的有限集合G若是适合1、Ⅱ和Ⅲ,那么它也适合Ⅲ 证明:先证ax=b在G中有解 设G=a,,a2),用a左乘所有的得 G=(aa1a2,…an)GcG 由于消去律成立,所以G也有个元素,从而G=G,于是对b∈G,有b∈G,即b=ak, 这就是说是ax=b的解。 同样可证4=b可解 有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G作成一个群,如果1、Ⅱ、亚被满足。例 1 G＝{所有不等于零的整数}对于普通乘法满足 I、II、 ，但它不适合 III；因为 3x=2 无解。 定理 1 一个有乘法的有限集合 G 若是适合 I、II 和 ，那么它也适合 III。 证明：先证 在 G 中有解。 设 G＝ ，用 左乘所有的 得 ， ， 由于消去律成立，所以 也有 个元素，从而 ，于是对 ，有 ，即 ， 这就是说 是 的解。 同样可证 可解。 有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合 G 作成一个群，如果 I、II、 被满足