秦 4.1 奇异值，奇异向量和奇异值分解 奇异值分解(SVD)分解是矩阵计算中非常有用的工具之一 定理(SVD)设A∈Cmxn(m≥n),则存在酉矩阵U∈Cmxm和V∈Cnxn 使得 UAV= 或A=U V* 其中∑=diag(o1,o2,,0n)∈Rnxn,且o1≥.…≥on≥0. 上述分解称为A的奇异值分解(SVD),O1,02,,0n称为A的奇异值，它们 是矩阵AA的特征值的平方根， (板书) 西在不做特别说明的情况下，我们总是假定o1≥02≥··≥0n≥0. 西如果A∈Rm×n是实矩阵，则U,V也都可以是实矩阵 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3/38 4.1 奇异值，奇异向量和奇异值分解 奇异值分解 (SVD) 分解是矩阵计算中非常有用的工具之一. 定理 (SVD) 设 A ∈ C m×n (m ≥ n), 则存在酉矩阵 U ∈ C m×m 和 V ∈ C n×n 使得 U ∗AV =   Σ 0   或 A = U   Σ 0   V ∗ , 其中 Σ = diag(σ1, σ2, . . . , σn) ∈ R n×n , 且 σ1 ≥ . . . ≥ σn ≥ 0. 上述分解称为 A 的奇异值分解 (SVD) , σ1, σ2, . . . , σn 称为 A 的奇异值, 它们 是矩阵 A∗A 的特征值的平方根. (板书) ✍ 在不做特别说明的情况下, 我们总是假定 σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σn ≥ 0. ✍ 如果 A ∈ R m×n 是实矩阵, 则 U, V 也都可以是实矩阵. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3/38