[解三] 将坐标原点取在杆的中点,直接写出杆的解定解问题为 (-l≤x≤1) 0 0 l 设u(x,)=X(x)7(t),可得, T+ha t=o X"+aX=0, X(-1) X()=0 方程(2)和边界条件(3)构成本征值问题,当λ<0时,方程无非零 解,当λ=0时,得X=X0=A(常数),当λ>0时,方程(2)的解 为 X=A cos 由边界条件(3)可得 A1sin√+√A2c (5) √Asin√+√A2 COSTal=0 为使A1,A2不同时为零,必须 sIn Acos√ 0,即,2sin√lcos√l=0,由此得到, sin√ 2 cos√Al 1=1 (n=123.…) 为求出相应的本征函数,将(6)代入(5)中的任意一式,得 由此可见,当n=2m(m=1,2,3,…)时,A2=0,相应本征函数是 X=Xn(x)=X? 当n=2m+1(m=0,12,3…)时,A1=0,相应本征函数是[解三] 将坐标原点取在杆的中点，直接写出杆的解定解问题为 ( )      = = = − = = − ≤ ≤ =− = = = 0, 0 ; 0; 0 0 2 x x l x x l t t t tt xx u u u x u u a u l x l ε 设u(x,t) = X (x)T(t)， 可得， '' 0 2 T +λa T = ， （1） X ' '+λX = 0 ， （2） X ′(−l) = 0 X '(l) = 0 （3） 方程（2）和边界条件（3）构成本征值问题，当λ < 0时，方程无非零 解，当λ = 0 时，得 X = X0 = A（常数），当λ > 0 时，方程（2）的解 为 X A cos λ x A sin λ x = 1 + 2 （4） 由边界条件（3）可得     − + = + = sin cos 0 sin cos 0 1 2 1 2 A l A l A l A l λ λ λ λ λ λ λ λ （5） 为使 1 2 A , A 不同时为零，必须 0 sin cos sin cos = − l l l l λ λ λ λ ，即，2sin λl cos λl = 0，由此得到， 2 2       = = l n n π λ λ （n = 1,2,3,L） （6） 为求出相应的本征函数，将（6）代入（5）中的任意一式，得 0 2 cos 2 1 sin + 2 = π nπ A n A 由此可见，当n = 2m （m = 1,2,3,L）时， 0 A2 = ，相应本征函数是 x l m X Xn x X m π ( ) cos = = 2 = 当n = 2m +1（m = 0,1,2,3,L）时， 0 A1 = ，相应本征函数是