亚格的平面波方法 根据布洛赫定理,周期势场中单电子波函数是一个调幅平面 yk()=lk()elkk∈1BZ 波函数按倒格矢展开,可写为 1 yk(7) /NQ a(k+kn) 这是平面波的线性组合-自由电子的本征解的线性组合 为了求解待定系数a(k+Rn),将波函数带入波动方程 九 2m 72+V()|vk()=E(k)k() 可得: 2m (k+kh )-E)la(k+Kh)+2n'*hV(Kn-kn a(k+kn,) 由方程组系数行列式为零的条件,可得到确定能量本征值E(k)的方程 2 (k h,九 h′≠h ·原则上这是个∞×∞o阶行列式,实际计算时只能取有限阶行列式严格的平面波方法 • 根据布洛赫定理，周期势场中单电子波函数是一个调幅平面 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑟𝑟 ⃗ = 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑟𝑟 ⃗ 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑘𝑘�𝑟𝑟⃗ 𝑘𝑘 ∈ 1𝐵𝐵𝐵𝐵 波函数按倒格矢展开，可写为 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑟𝑟 ⃗ = 1 𝑁𝑁Ω� ℎ 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑘𝑘+𝐾𝐾ℎ �𝑟𝑟⃗ 这是平面波的线性组合−自由电子的本征解的线性组合 • 为了求解待定系数𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ ，将波函数带入波动方程 − ℏ2 2𝑚𝑚 𝛻𝛻2 + 𝑉𝑉 𝑟𝑟 ⃗ 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑟𝑟 ⃗ = 𝐸𝐸 k 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑟𝑟 ⃗ • 可得： ℏ2 2𝑚𝑚 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ 2 − 𝐸𝐸 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ ′ + ∑ℎ′≠ℎ 𝑉𝑉 𝐾𝐾ℎ − 𝐾𝐾ℎ‘ 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ’ =0 • 由方程组系数行列式为零的条件，可得到确定能量本征值𝐸𝐸 𝑘𝑘 的方程 det ℏ2 2𝑚𝑚 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ 2 − 𝐸𝐸 𝑘𝑘 𝛿𝛿ℎ,ℎ′ + � ℎ′≠ℎ 𝑉𝑉 𝐾𝐾ℎ − 𝐾𝐾ℎ ′ = 0 • 原则上这是个∞ × ∞阶行列式，实际计算时只能取有限阶行列式