当x>1时,x2<1,∴F(x)>0,知F(x)单调递增 所以F()是最小值,又F(1)=0,∴F(x)≥0即x-ax≤1-a 证法三、利用泰勒公式 取x=1,令F(x)=1-a-x2+ax(x>0),F(x0)=F(1)=0 F(x)=a(1-x4),F(x)=F(1)=0,F(x)=a(1-a)x2 由一阶泰勒公式, F "() F(x)=F(1)+F(x-1)+2(5(x-1)2 2! 有F(x)a(1-a) (x-1)2≥0 1-a-x4+ax≥0,即x-ax≤1-a 例5利用图形凹凸性证明:当x>0,y>0时,有不等式 xInx+yIn y2(x+yIn ty 等号仅当x=y时成立 2 分析设f(x)在区间Ⅰ上连续,Vx,x2∈1, 若恒有/(x)<(x)+f(x2) 称∫(x)在Ⅰ上图形是凹的 若恒有f( x1+x2、、f(x1)+f(x2) ,称f(x)在/上图形是凸的 将不等式两边同除以2,变形为 y,x+y xinx+yIny 可以看出,左边是函数f()=ln在+y处的函数值,而右边是它在x,J两点处函 数值的平均值因此,可用函数图形的凹凸性来证明 证明设f(t)=tlnt,t>0,则f(t)=1+lnt,f"(t)=>0,故函数 f()=tlnt,在t>0的图形是凹的,从而对x>0,y>0,有33 当 x 1 时， 1 1 a x −  ，  F x'( ) 0 ，知 F x( ) 单调递增. 所以 F(1) 是最小值，又 F(1) 0 = ，  F x( ) 0 即 1 a x ax a −  − 证法三、利用泰勒公式 取 x =1 ，令 0 ( ) 1 ( 0), ( ) (1) 0 a F x a x ax x F x F = − − +  = = 1 ( ) (1 ) a F x a x −  = − ， F x F   ( ) (1) 0 = = ， 2 ( ) (1 ) a F x a a x −  = − 由一阶泰勒公式， 2 ( ) ( ) (1) (1)( 1) ( 1) 2! F F x F F x x   = + − + −  有 2 2 (1 ) ( ) ( 1) 0 2 a a a F x x  − − = −  1 0 a  − − +  a x ax ，即 1 a x ax a −  − . 例 5 利用图形凹凸性证明：当 x y   0, 0 时，有不等式 ln ln ( )ln . 2 x y x x y y x y + +  + 等号仅当 x y = 时成立. 分析 设 f x( ) 在区间 I 上连续， 1 2   x x I , , 若恒有 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) , 2 2 x x f x f x f + +  称 f x( ) 在 I 上图形是凹的. 若恒有 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) , 2 2 x x f x f x f + +  称 f x( ) 在 I 上图形是凸的. 将不等式两边同除以 2，变形为 ln ln ln . 2 2 2 x y x y x x y y + + +  可以看出，左边是函数 f t t t ( ) ln = 在 2 x y + 处的函数值，而右边是它在 x y, 两点处函 数值的平均值.因此，可用函数图形的凹凸性来证明. 证 明 设 f t t t ( ) ln = ， t > 0 ， 则 1 f t t f t ( ) 1 ln , ( ) 0 t   = + =  ，故函数 f t t t ( ) ln = ，在 t > 0 的图形是凹的，从而对    x y 0, 0 ，有