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.1074 北京科技大学学报 第30卷 的权系数.其值可以通过图像的灰度直方图计算如 当1-名叫 (13) 下： -六1=0.19 求L,对uu和v的偏导数，有： (10) 其中，Y和g的意义与式(6)相同，即q表示给定图 L=0片mwM01‖9-%2+(-1)=0 d ukl 像的灰阶数；Y,为灰度值等于l的像素的数目(l= (14) 12,…,g),且有空%=N.显然1满足条件 =1 歌-=会w1=0 a入 (15) 】0=1,即01可认为是各灰度级出现的概率， 由式(14)可知： 11/(m-1) 也就是说，由式(10)可知各灰度级的权值可由灰度 图像的归一化直方图给出 whu-m lv: (16) 将式(16)代入(15)中，得： 同样在约束条件：对于任意的1，当会地1 x(m-) (m-=1 1 、mwIYl 台15-， 时，求式(9)的极小值，令J对k和的偏导数为 0,可得到极小值的必要条件为： (17) (5-2(m- 因此有： (-,)2a (11) ,m01Y) (I专-，I3)w wihuu =1 (18) (12) wu暗 最后，将式(18)代入(16)得： 显然，由式(12)可知权系数01的主要作用在于聚 (-,I3)a= (1-3(m-)= r=1 类中心的调整，当01=1/g时，即认为各个样本对 聚类影响一致时，SWFCM就退化为EFCM算法， 1 下面以定理的形式给出SWFCM, ‖专-名(m (19) 定理设={，l=1,2,…,g表示一幅灰度 1-,网 级图像，其中为灰度图像？中灰度为（的像素的 类似得到： 全体，图像被划分成c类，在约束条件ku∈[0， 2L=0台-220M8(5-g)=0(20) avk 空m=1.V1.0<空mu<gV号下达代优 由式(20)得： 化目标函数(9)使其达到最小，则w和'%必须满足 下面的等式： 》- 01u (21) (-y)2火m- 所以有： (-) ∑D1YuR =1 (22) 名01u吸 身a 证毕. hu暗 改进的FCM聚类算法一SWFCM,可以按照 证明利用拉格朗日乘数法，定义一带有约束 以下迭代步骤完成， 条保∈[0.刂空u=1,1.<空 u< (1)设定聚类数目2≤c≤g一1和参数m>1, 算法终止阈值c>0,允许的最大迭代次数nmax· q,H的新目标函数如下： (2)初始化各个聚类中心%(k=1,2,…,c) L,-会兰随5nl2+ (3)运用式(5)计算新的灰度级图像ξ. (4)用当前聚类中心v%根据式(11)计算隶属的权系数．其值可以通过图像的灰度直方图计算如 下： wl＝ γl N l＝01…q （10） 其中γl 和 q 的意义与式（6）相同．即 q 表示给定图 像的灰阶数；γl 为灰度值等于 l 的像素的数目（ l＝ 12…q）且有 ∑ q l＝1 γl ＝ N．显然 wl 满足条件 ∑ q l＝1 wl＝1即 wl 可认为是各灰度级出现的概率 也就是说由式（10）可知各灰度级的权值可由灰度 图像的归一化直方图给出． 同样在约束条件：对于任意的 l当 ∑ c k＝1 ukl＝1 时求式（9）的极小值令 Js 对 vk 和 ukl的偏导数为 0可得到极小值的必要条件为： ukl＝ （ξl － vk） －2／（ m－1） ∑ c r＝1 （ξl － vr） －2／（ m－1） （11） vk＝ ∑ q l＝1 wlγlu m klξl ∑ q l＝1 wlγlu m kl （12） 显然由式（12）可知权系数 wl 的主要作用在于聚 类中心的调整当 wl＝1／q 时即认为各个样本对 聚类影响一致时SWFCM 就退化为 EnFCM 算法． 下面以定理的形式给出 SWFCM． 定理 设ξ＝｛ξll＝12…q｝表示一幅灰度 级图像其中 ξl 为灰度图像ζ中灰度为 l 的像素的 全体图像被划分成 c 类．在约束条件 ukl∈ ［0 1］ ∑ c k＝1 ukl＝1∀ l0＜ ∑ q l＝1 ukl＜q∀k 下迭代优 化目标函数（9）使其达到最小则 ukl和 vk 必须满足 下面的等式： ukl＝ （ξl － vk） －2／（ m－1） ∑ c r＝1 （ξl － vr） －2／（ m－1） ； vk＝ ∑ q l＝1 wlγlu m klξl ∑ q l＝1 wlγlu m kl ． 证明 利用拉格朗日乘数法定义一带有约束 条件 ukl∈ ［01］ ∑ c k＝1 ukl＝1∀ l0＜ ∑ q l＝1 ukl＜ q∀k 的新目标函数如下： Ls＝ ∑ c k＝1∑ q l＝1 wlγlu m kl‖ξl－vk‖2＋ ∑ q l＝1 λl 1－ ∑ c k＝1 ukl （13） 求 Ls 对 ukl和 vk 的偏导数有： ∂Ls ∂ukl ＝0⇔ mwlγlu m－1 kl ‖ξl－vk‖2＋λl（－1）＝0 （14） ∂Ls ∂λl ＝0⇔ ∑ c k＝1 ukl－1＝0 （15） 由式（14）可知： ukl＝ λl mwlγl‖ξl－vk‖2） 1／（ m－1） （16） 将式（16）代入（15）中得： λl mwlγl 1／（ m－1） ∑ c r＝1 1 ‖ξl－vr‖2 1／（ m－1） ＝1 （17） 因此有： λl mwlγl 1／（ m－1） ＝ 1 ∑ c r＝1 （‖ξl － vr‖2） －1／（ m－1） （18） 最后将式（18）代入（16）得： ukl＝ ∑ c r＝1 （‖ξl － vr‖2） 1／（ m－1） （‖ξl － vk‖2） 1／（ m－1） ＝ 1 ∑ c r＝1 ‖ξl － vk‖2 ‖ξl － vr‖2 1／（ m－1） （19） 类似得到： ∂Ls ∂vk ＝0⇔－2∑ q l＝1 wlγlu m kl（ξl－vk）＝0 （20） 由式（20）得： ∑ q l＝1 wlγlu m klξl＝ ∑ q l＝1 wlγlu m klvk （21） 所以有： vk＝ ∑ q l＝1 wlγlu m klξl ∑ q l＝1 wlγlu m kl （22） 证毕． 改进的 FCM 聚类算法－－－SWFCM可以按照 以下迭代步骤完成． （1） 设定聚类数目2≤c≤q－1和参数 m＞1 算法终止阈值ε＞0允许的最大迭代次数 nmax． （2） 初始化各个聚类中心 vk（ k＝12…c）． （3） 运用式（5）计算新的灰度级图像ξ． （4） 用当前聚类中心 vk 根据式（11）计算隶属 ·1074· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷