第二学期第七次课 第六章§3酉空间 设V是复线性空间.V×V上的一个函数(·,·),如果满足 (i)(·,·)对第一个变量是线性的; (ii)(a,B)=(B,a) (ii)ya∈V,(a,a)≥0,且(a,a)=0分a=0 则称(a,B)为向量a,B的内积,具有内积的复线性空间称为酉空间(欧氏空间在复线性空 间上的推广) a|=a,a)称为酉空间中向量a的长度,|al=1时,称a为单位向量 (a,B)=0时,称二向量a,B正交 同欧氏空间类似,我们有如下命题 命题酉空间中两两正交的非零向量组是线性无关的 类似地,我们把n维酉空间V中由n个两两正交的单位向量组成的向量组称为V的一组 标准正交基 标准正交基的求法:施密特( Schmidt)正交化 E1=a1 E 设U是n阶复矩阵,如果U=U-,则称U是一个酉矩阵 命题3.2s;,E2…,En是n维酉空间V的一组标准正交基,令 (n,n2,…,nn)=( )U 则n,n2…,7n是一组标准正交基当且仅当U是酉矩阵第二学期第七次课 第六章 §3 酉空间 设 V 是复线性空间.V  V 上的一个函数( • , • ),如果满足: (i) ( • , • )对第一个变量是线性的; (ii) ( ,  )= ( ,) ; (iii)    V,(  , )  0,且(  , )=0   =0. 则称( ,  )为向量 ,  的内积，具有内积的复线性空间称为酉空间（欧氏空间在复线性空 间上的推广）. |  |= (,) 称为酉空间中向量  的长度, |  |=1 时,称  为单位向量. ( ,  )=0 时,称二向量 ,  正交. 同欧氏空间类似,我们有如下命题: 命题 酉空间中两两正交的非零向量组是线性无关的. 类似地,我们把 n 维酉空间 V 中由 n 个两两正交的单位向量组成的向量组称为 V 的一组 标准正交基. 标准正交基的求法: 施密特(Schmidt)正交化 , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) , 2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 3 1 1 1 2 1 2 2 1 1                      = − − = − =   − = = + + + = − = − s 1 k 1 k k k s k s s i k 1 k k k i 1 k i 1 i 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )                 设 U 是 n 阶复矩阵,如果 1 U U −  = ,则称 U 是一个酉矩阵. 命题 3.2 1 2 n  ， ，， 是 n 维酉空间 V 的一组标准正交基,令 ( 1，2，，n )=( 1 2 n  ， ，， )U 则 1，2，，n 是一组标准正交基当且仅当 U 是酉矩阵