试从 1+x=(1-x)+(x2-x)+…+en2_,2m )+…,0<x<1 例 证明h2=11 n+1 十,。,十 23 解:令fn(x)=x2n2-x2n1,x∈(0,1),n=1,2,3,… 则(x)为非负连续函数,当然为可测函数 从而由 Lebesgue逐项积分定理知: (0.1)1+x dk=(L)∑f(xtx=2D n=1 (0,1) f(xk=∑(R)Jf(x n=」 ∑(R(x2-xk=(2n=1-2n ×C ..十 34 另外(L dx=(r =h2从而结论成立 0)1+x 01+x例 (1 ) ( ) ( ) ,0 1 1 1 2 3 2 2 2 1 = − + − + + − +   + − − x x x x x x x 试从  n n  = − + − ++ − + + n n 1 ( 1) 4 1 3 1 2 1 证明ln 2 1 解：令f n (x) = x 2n−2 − x 2n−1 , x(0,1), n =1,2,3,  dx L f x dx L f x dx R f x dx x L n n n n n    n      =  =  = = = = + 1 1 0 1 (0,1) (0,1) 1 (0,1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) R x x dx n n n ( ) ( ) 1 1 0 2 2 2 1    = − − = −   = − − = 1 ) 2 1 2 1 1 ( n n n 1 (0,1) 0 1 1 ( ) ( ) ln 2 1 1 L dx R dx x x = = + + 另外    + − = − + − + + + n n 1 ( 1) 4 1 3 1 2 1 1 从而结论成立 f (x) 则 n 为非负连续函数，当然为可测函数， 从而由Lebesgue逐项积分定理知：