√a2snt(cost--sn1)√x2()+y"2()+2()dt =V3a sin t(cost-sin n)dt=-asin2tdt=-za 解法3作坐标旋转。就坐标是(x,y),新坐标是(X,Y),旋转角为,则旋转变换的一般公 式为 x= X cos sn0, y=Xsin 0+Y cos0 因为平面x+y+z=0的单位法矢为n=÷={111},则它与z轴的夹角余弦为 丌 =÷。下面分两步进行旋转,先将Oxy平面旋转x,得新坐标系Onv2:再将Oz’平 面旋转φ,得新坐标系Onv。即 Ouve →Oa 由旋转公式得 x==(-) 二=wcosφ-usnp l+1 =wsnp+cosφ 于是得x==(uCos-+sny) 2 y=-=cosφ+"+wsmp) 二=wcosφ-lsnp 在这组变换下,曲线L:x2+y2+z2=a2,x+y+z=0变为un2+y2+v2=a2,w=0, 故∫(x+y+)=」xb=3cos-sg+b ∫Gos-)=5j2-3)d2  = 2 0 2 3a sin t t sin t) x (t) y (t) z (t)dt 3 1 (cos 2 2 2 −  +  +   = 2 0 3 3a sin t t sin t)dt 3 1 (cos − 3 2 0 3 2 a sin tdt a  = − = −  解法 3 作坐标旋转。就坐标是 (x, y) ，新坐标是 (X,Y) ，旋转角为  ，则旋转变换的一般公 式为 x = X cos −Y sin ， y = X sin  + Y cos 因为平面 x + y + z = 0 的单位法矢为 {1,1,1} 3 1 n =  ，则它与 z 轴的夹角余弦为 3 1 cos = 。下面分两步进行旋转，先将 Oxy 平面旋转 4  ，得新坐标系 Ou  vz ；再将 Ozu  平 面旋转  ，得新坐标系 Ouvw 。即 Oxyz Ou  vz Ouvw 由旋转公式得 ( ) 2 1 x = u  − v z = wcos − u sin  ( ) 2 1 y = u  + v u  = wsin  + u cos 于是得 ( cos sin ) 2 1 x = u  − v + w  ( cos sin ) 2 1 y = u  + v + w  z = wcos − u sin  在这组变换下，曲线 L ： 2 2 2 2 x + y + z = a ，x + y + z = 0 变为 2 2 2 2 u + v + w = a ，w = 0， 故  + + L (xy yz zx)ds  = L 3 xyds  = − + L (u cos v)(u cos v)ds 2 3    = − L (u cos v )ds 2 3 2 2 2  u v ds L ( 3 ) 2 1 2 2 = − 