刘明等：需求依赖库存的生产库存系统的最优控制 119 其他的一些因素也包含进来，例如通货膨胀环境、销售 通过生产来满足市场的需求，但产品不是直接进入市 条款和生产规模 场，而是首先进入仓库，然后再进入市场，库存起到平 生产库存方面的文献通常假设需求是外生的，不 滑生产的作用.与以往文献不同的是，这里的市场需 管是确定的还是随机的，时变的还是时不变的，即公司 求不是外生的，而是可以通过产品定价和库存进行控 的生产库存策略不可能影响到需求.但是，市场实践 制的.在这个系统中，将产品库存水平作为表征系统 者和研究者发现，展示的库存对于需求存在刺激效 状态的变量，而将产品生产率和价格作为系统的控制 应切.库存对于需求的刺激效应至少存在两种类型： 变量.为了建立此生产库存系统的最优控制模型，首 第一种，也是较为明显的一种，称为“选择效应”，即较 先建立系统的状态方程： 多的库存为顾客提供了更多的选择，从而促使顾客购 i()=u(t)-d(t),1(o)=。>0. (1) 买的更多.当产品是不同质的时候，这种情况就会发 式中，1(t)为产品库存水平，u(t)为产品生产率，d(t) 生.一个顾客可能喜欢那种有很多“选择”的感觉，对 为产品需求率.式(1)表明，产品库存水平的变化率取 于某种商品，低库存可能会让顾客认为这些商品是别 决于产品生产率和产品需求率 人挑剩下的，质量有问题.第二种刺激效应称为“广告 效应”.大量的展示商品常常会使顾客认为，这种商品 库存 d 生产 市场 在市场上很流行，从而说明这种商品的价值较高，促使 顾客买的更多（或更频繁）.一些商家在商店中展示大 图1生产库存系统 量的库存，如超市，明显就是为了刺激需求，相关的文 Fig.1 Production inventory system 献可以参见89们.需求率依赖于库存水平的思想是 由Schary和Becker及Levin等m首先引入的，文献 这里的需求率的具体形式如下： B,12-14]等研究了在依赖于库存需求的条件下确定 d(i）=f(p(t）,I(t）)=a-bp(t)]k-I(t).(2) 最优订货和库存的问题.这些文献采用了经济订货量 式中：p(t)为产品价格：a、b和k为需求参数，正常量 (economic order quantity,EOQ)方法来确定最优订 式(2)说明，需求率不但依赖于产品价格p(t),而且依 货量. 赖于库存水平1()，并且二者存在相互作用.文 本文采用了一种不同的方法来对具有依赖于库存 献8]研究发现，商品的需求和销售趋势与展示的库 水平需求的确定性生产库存系统进行建模和分析— 存成正比，基于此我们将库存看成是对产品的一种广 最优控制.最优控制理论在许多经济、管理和工业应 告。在市场科学中存在一类价格和广告共同影响需求 用中证明了其有效性5.在本文的背景下，这种方 的模型，文献9]已经证明，广告效应应该伴随着降 法的优势在于：(1)它允许使用有限或无限周期的目 价，即两种市场工具的作用一致.因此也能看到库存 标函数，可以指定初始或（和）终端库存水平：(2)生产 与价格之间的协作效应.关于广告的最优控制可以参 率可以有上界：(3)需求率可以是时变的，也可以是库 见文献20]. 存水平依赖的：(4)可以求解模型得到最优生产和定 对于控制变量u(),p(t)存在以下约束： 价策略.本文模型将价格作为第二个决策变量，以影 0≤u(）≤U,0≤p(t)≤a/b. (3) 响消费者的需求：这是因为市场研究发现大库存对于 即：(1)考虑到控制变量的实际意义，它们不能为负： 销售的影响可能通过减价得到加强叨 (2)对产品生产率存在产能约束，而在以往的许多相 首先，对具有依赖于库存水平需求的确定性生产 关文献中为了处理问题的方便，往往不设置产能约束： 库存系统建立最优控制模型.然后，利用Pontryagin的 (3)而且为了保证产品需求率不为负，对产品的价格 最大值原理对模型进行求解，得到最优解的一组必要 也存在上限约束 条件，通过分析我们得到最优生产和定价策略及其特 从式(2)可以得到需求函数的以下性质： 性.最后，通过一个具体的数值算例，给出了所研究的 f(p,0≥0，f(p,0)=0,af/ap≤0， 生产库存系统的状态和控制变量的具体变化过程，将 a2f/ap2=0,af/al≥0，af1aP=0, 需求不依赖于库存的情形所得到的结果与本文的结果 a'f/ap al <0. (4) 进行比较，得到需求依赖于库存所产生的影响。本文 式(4)中的第二式说明，如果库存为零，那么需求 的贡献在于将价格作为决策变量，需求依赖于库存和 率为零，即没有库存就没有需求.式(4)的第三式说明 价格，生产率是有界的 需求率随价格的增加而线性减小.需求率随库存水平 线性增加意味着库存水平的边际增长对需求产生相同 1最优控制模型 的影响如.在一些文献中假设需求关于库存是凹的， 首先考虑一个如图1所示的生产库存系统.公司 而在本文中是线性的，故不存在凹函数所意味着的边刘 明等: 需求依赖库存的生产库存系统的最优控制 其他的一些因素也包含进来，例如通货膨胀环境、销售 条款和生产规模． 生产库存方面的文献通常假设需求是外生的，不 管是确定的还是随机的，时变的还是时不变的，即公司 的生产库存策略不可能影响到需求． 但是，市场实践 者和研究者发现，展示的库存对于需求存在刺激效 应［7］． 库存对于需求的刺激效应至少存在两种类型: 第一种，也是较为明显的一种，称为“选择效应”，即较 多的库存为顾客提供了更多的选择，从而促使顾客购 买的更多． 当产品是不同质的时候，这种情况就会发 生． 一个顾客可能喜欢那种有很多“选择”的感觉，对 于某种商品，低库存可能会让顾客认为这些商品是别 人挑剩下的，质量有问题． 第二种刺激效应称为“广告 效应”． 大量的展示商品常常会使顾客认为，这种商品 在市场上很流行，从而说明这种商品的价值较高，促使 顾客买的更多( 或更频繁) ． 一些商家在商店中展示大 量的库存，如超市，明显就是为了刺激需求，相关的文 献可以参见［8--9］． 需求率依赖于库存水平的思想是 由 Schary 和 Becker［10］及 Levin 等［11］首先引入的，文献 ［8，12--14］等研究了在依赖于库存需求的条件下确定 最优订货和库存的问题． 这些文献采用了经济订货量 ( economic order quantity，EOQ) 方 法 来 确 定 最 优 订 货量． 本文采用了一种不同的方法来对具有依赖于库存 水平需求的确定性生产库存系统进行建模和分析——— 最优控制． 最优控制理论在许多经济、管理和工业应 用中证明了其有效性［15--16］． 在本文的背景下，这种方 法的优势在于: ( 1) 它允许使用有限或无限周期的目 标函数，可以指定初始或( 和) 终端库存水平; ( 2) 生产 率可以有上界; ( 3) 需求率可以是时变的，也可以是库 存水平依赖的; ( 4) 可以求解模型得到最优生产和定 价策略． 本文模型将价格作为第二个决策变量，以影 响消费者的需求; 这是因为市场研究发现大库存对于 销售的影响可能通过减价得到加强［17］． 首先，对具有依赖于库存水平需求的确定性生产 库存系统建立最优控制模型． 然后，利用 Pontryagin 的 最大值原理对模型进行求解，得到最优解的一组必要 条件，通过分析我们得到最优生产和定价策略及其特 性． 最后，通过一个具体的数值算例，给出了所研究的 生产库存系统的状态和控制变量的具体变化过程，将 需求不依赖于库存的情形所得到的结果与本文的结果 进行比较，得到需求依赖于库存所产生的影响． 本文 的贡献在于将价格作为决策变量，需求依赖于库存和 价格，生产率是有界的． 1 最优控制模型 首先考虑一个如图 1 所示的生产库存系统． 公司 通过生产来满足市场的需求，但产品不是直接进入市 场，而是首先进入仓库，然后再进入市场，库存起到平 滑生产的作用． 与以往文献不同的是，这里的市场需 求不是外生的，而是可以通过产品定价和库存进行控 制的． 在这个系统中，将产品库存水平作为表征系统 状态的变量，而将产品生产率和价格作为系统的控制 变量． 为了建立此生产库存系统的最优控制模型，首 先建立系统的状态方程: I · ( t) = u( t) － d( t) ，I( 0) = I0 ＞ 0． ( 1) 式中，I( t) 为产品库存水平，u( t) 为产品生产率，d( t) 为产品需求率． 式( 1) 表明，产品库存水平的变化率取 决于产品生产率和产品需求率． 图 1 生产库存系统 Fig． 1 Production inventory system 这里的需求率的具体形式如下: d( t) = f( p( t) ，I( t) ) =［a － bp( t) ］·k·I( t) ． ( 2) 式中: p( t) 为产品价格; a、b 和 k 为需求参数，正常量． 式( 2) 说明，需求率不但依赖于产品价格 p( t) ，而且依 赖于库 存 水 平 I ( t) ，并 且 二 者 存 在 相 互 作 用． 文 献［18］研究发现，商品的需求和销售趋势与展示的库 存成正比，基于此我们将库存看成是对产品的一种广 告． 在市场科学中存在一类价格和广告共同影响需求 的模型，文献［19］已经证明，广告效应应该伴随着降 价，即两种市场工具的作用一致． 因此也能看到库存 与价格之间的协作效应． 关于广告的最优控制可以参 见文献［20］． 对于控制变量 u( t) ，p( t) 存在以下约束: 0≤u( t) ≤U ，0≤p( t) ≤a / b． ( 3) 即: ( 1) 考虑到控制变量的实际意义，它们不能为负; ( 2) 对产品生产率存在产能约束，而在以往的许多相 关文献中为了处理问题的方便，往往不设置产能约束; ( 3) 而且为了保证产品需求率不为负，对产品的价格 也存在上限约束． 从式( 2) 可以得到需求函数的以下性质: f( p ，I) ≥0，f( p ，0) = 0，f / p≤0，  2 f / p 2 = 0，f / I≥0， 2 f / I 2 = 0，  2 f / p I ＜ 0． ( 4) 式( 4) 中的第二式说明，如果库存为零，那么需求 率为零，即没有库存就没有需求． 式( 4) 的第三式说明 需求率随价格的增加而线性减小． 需求率随库存水平 线性增加意味着库存水平的边际增长对需求产生相同 的影响［21］． 在一些文献中假设需求关于库存是凹的， 而在本文中是线性的，故不存在凹函数所意味着的边 · 911 ·