张水平等：基于逐层演化的群体智能算法优化 ·469 表2基准函数表 Table2 Benchmark functions used in this paper 名称 取值范围 极值点 最优解 Sphere [-100,100]D 8=0b fg)=0 Elliptic [-100,100]0 8=0b f(g)=0 f:Rastrigin [-5,5]D 8=00 f(g)=0 f:Ackley [-32,32]D 8=00 fg)=0 fs:Schwefel [-100,100]D 8=0b f八g)=0 fs:Rosenbrock [-100,100]D 8=10 f八g)=0 f方：Sf_Elliptic [-90,110]D g=0+g=10P fg)=0 s:Sft_Rastrigin 5,15]D g=0+g=100 fg)=0 Sft_Ackley [-22,42]D 8=0+g=100 f(g')=0 fio:Sft_Schwefel [-90,110]D 8=0+g=10b f(g)=0 f:Sft_Rosenbrock [-90,110]D g=0+g=11 fg)=0 空间压缩比例，依据预期压缩次数而定，可以进行调 多见.这一现象的存在很好的克服了早熟问题，也可 整：当所有种群中成熟种群数量超过一定比例y后，表 以在图7(e)、7(g)、7(h)和(j)得到体现.但是，正如 示整体成熟即浸泡完成，进行清洗：L仅做阈值使用， 之前所提及的，该策略对空间压缩中心点的定位具有 一般实验过程中不会触及，若最大迭代次数提高，则可 较强的依赖性.如图7()、7()和7(k)所示，可以清 以降低该值 楚的看到，如未能及早地确定最终解所在区域，将会出 图7记录了在权重为固定值，问题维度D=10和 现进化停滞.这是由于经过多次压缩空间使得搜索空 问题维度D=30的条件下，原粒子群算法与分别添加 间被控制在了一个错误的范围内，所探索到的只是在 种群多样性策略1和2作为收敛性判别条件进而构建 这个错误范围内的最优解虽然策略采用了多个群组 的逐层演化系统（图例中10和30为纬度，S1和S2对 的并行筛选策略，但由于初始粒子设置较少，所以无法 应策略1和策略2)，各独立进行100次重复实验，取 很好地完成搜索工作.但相较于原算法还是具有提 平均值获得的收敛曲线，其中，横轴为迭代次数，和纵 升的. 轴为最优解取对数后的值.为了验证实验的公平性， 此外，还采用相同的办法分别对采用的其他3种 标准粒子群算法和逐层演化策略搭载后的粒子群算法 权重策略即随机权值、线性权重和非线性权重也进行 使用了相同数量的粒子，虽然这些粒子会分布到几个 了仿真实验.通过图8可以进一步证明：当算法初期 可以并行的独立种群中去，在一定程度上影响了改进 寻优效果较好时，改进后的算法具有较强的进化能力. 后算法在初期的寻优效果，但也证实了改进策略的有 且不易出现早熟现象.表3中记录的是在问题维度等 效性. 于10时，100次实验解的相关数值特征.从表3的方 以图7(a)为例，可以看出无论是在10维或者30 差项可以看出，改进效果对最终结果的稳定性（方差） 维问题的处理时，逐层演化策略都能对结果的最终精 提升有较大帮助，且策略2的效果在大多数情况下要 度有一定提升.然而，这一策略最主要的提升还是对 优于策略1.同样，在均值方面也处于领先地位.进而 存在于传统粒子群算法中早熟问题的处理.可以看出 在表3中的最大和最小值也可以看出逐层演化策略对 两种不同的多样性判别标准所带来的曲线虽有一定的 算法的具体改进.尤其是在。和：中的提升效果是十 差异，但却都未出现停滞进化的现象.同样的情况也 分显著的.逐层演化策略的两种策略都能处于较好的 可以在图7(b)中得到体现.而在7(c)中则可以清楚 保证对最终解的寻找，但结合图7()和图7(k)可以 的发现在10维问题求解的改进曲线上，存在明显的精 发现，最终收敛曲线的效果不足是由于算法不能稳定 度提升过程.这一现象的产生原因是当算法在一段时 对该函数进行求解造成的 间内没有获得新的最优解，则大多数个体由于进化策 表4记录了维度为30的时候，固定权重进行100 略的影响，必将收敛于最优解附近，从而达到种群多样 次独立重复实验的数值特征.相对于10维问题的求 新判断的阈值，进而触发空间压缩策略 解来说，可以在表4中的方差一项清楚看出，求解效果 在图7()中同样可以发现曲线存在平缓后出现 的稳定性出现了较大的下滑.但算法的改进效果依然 快速下滑的情况，这在其他的粒子群改进策略中并不 十分明显.同样可以发现在对函数∫。和∫，进行求解时张水平等: 基于逐层演化的群体智能算法优化 表 2 基准函数表 Table 2 Benchmark functions used in this paper 名称 取值范围 极值点 最优解 f1 : Sphere ［－ 100，100］D g = 0D f( g) = 0 f2 : Elliptic ［－ 100，100］D g = 0D f( g) = 0 f3 : Ｒastrigin ［－ 5，5］D g = 0D f( g) = 0 f4 : Ackley ［－ 32，32］D g = 0D f( g) = 0 f5 : Schwefel ［－ 100，100］D g = 0D f( g) = 0 f6 : Ｒosenbrock ［－ 100，100］D g = 1D f( g) = 0 f7 : Sft_Elliptic ［－ 90，110］D g* = o + g = 10D f( g* ) = 0 f8 : Sft_Ｒastrigin ［5，15］D g* = o + g = 10D f( g* ) = 0 f9 : Sft_Ackley ［－ 22，42］D g* = o + g = 10D f( g* ) = 0 f10 : Sft_Schwefel ［－ 90，110］D g* = o + g = 10D f( g* ) = 0 f11 : Sft_Ｒosenbrock ［－ 90，110］D g* = o + g = 11D f( g* ) = 0 空间压缩比例，依据预期压缩次数而定，可以进行调 整; 当所有种群中成熟种群数量超过一定比例 γ 后，表 示整体成熟即浸泡完成，进行清洗; L 仅做阈值使用， 一般实验过程中不会触及，若最大迭代次数提高，则可 以降低该值． 图 7 记录了在权重为固定值，问题维度 D = 10 和 问题维度 D = 30 的条件下，原粒子群算法与分别添加 种群多样性策略 1 和 2 作为收敛性判别条件进而构建 的逐层演化系统( 图例中 10 和 30 为纬度，S1 和 S2 对 应策略 1 和策略 2) ，各独立进行 100 次重复实验，取 平均值获得的收敛曲线，其中，横轴为迭代次数，和纵 轴为最优解取对数后的值． 为了验证实验的公平性， 标准粒子群算法和逐层演化策略搭载后的粒子群算法 使用了相同数量的粒子，虽然这些粒子会分布到几个 可以并行的独立种群中去，在一定程度上影响了改进 后算法在初期的寻优效果，但也证实了改进策略的有 效性． 以图 7( a) 为例，可以看出无论是在 10 维或者 30 维问题的处理时，逐层演化策略都能对结果的最终精 度有一定提升． 然而，这一策略最主要的提升还是对 存在于传统粒子群算法中早熟问题的处理． 可以看出 两种不同的多样性判别标准所带来的曲线虽有一定的 差异，但却都未出现停滞进化的现象． 同样的情况也 可以在图 7( b) 中得到体现． 而在 7( c) 中则可以清楚 的发现在 10 维问题求解的改进曲线上，存在明显的精 度提升过程． 这一现象的产生原因是当算法在一段时 间内没有获得新的最优解，则大多数个体由于进化策 略的影响，必将收敛于最优解附近，从而达到种群多样 新判断的阈值，进而触发空间压缩策略． 在图 7( d) 中同样可以发现曲线存在平缓后出现 快速下滑的情况，这在其他的粒子群改进策略中并不 多见． 这一现象的存在很好的克服了早熟问题，也可 以在图 7( e) 、7( g) 、7( h) 和( j) 得到体现． 但是，正如 之前所提及的，该策略对空间压缩中心点的定位具有 较强的依赖性． 如图 7( f) 、7( i) 和 7( k) 所示，可以清 楚的看到，如未能及早地确定最终解所在区域，将会出 现进化停滞． 这是由于经过多次压缩空间使得搜索空 间被控制在了一个错误的范围内，所探索到的只是在 这个错误范围内的最优解． 虽然策略采用了多个群组 的并行筛选策略，但由于初始粒子设置较少，所以无法 很好地完成搜索工作． 但相较于原算法还是具有提 升的． 此外，还采用相同的办法分别对采用的其他 3 种 权重策略即随机权值、线性权重和非线性权重也进行 了仿真实验． 通过图 8 可以进一步证明: 当算法初期 寻优效果较好时，改进后的算法具有较强的进化能力． 且不易出现早熟现象． 表 3 中记录的是在问题维度等 于 10 时，100 次实验解的相关数值特征． 从表 3 的方 差项可以看出，改进效果对最终结果的稳定性( 方差) 提升有较大帮助，且策略 2 的效果在大多数情况下要 优于策略 1． 同样，在均值方面也处于领先地位． 进而 在表 3 中的最大和最小值也可以看出逐层演化策略对 算法的具体改进． 尤其是在 f6和 f11中的提升效果是十 分显著的． 逐层演化策略的两种策略都能处于较好的 保证对最终解的寻找，但结合图 7( f) 和图 7( k) 可以 发现，最终收敛曲线的效果不足是由于算法不能稳定 对该函数进行求解造成的． 表 4 记录了维度为 30 的时候，固定权重进行 100 次独立重复实验的数值特征． 相对于 10 维问题的求 解来说，可以在表 4 中的方差一项清楚看出，求解效果 的稳定性出现了较大的下滑． 但算法的改进效果依然 十分明显． 同样可以发现在对函数 f6和 f11进行求解时 · 964 ·