统计与信息论坛 函数的参数与边缘分布函数的参数组成的参数向 二、Copula函数 量，π()、(、()分别为相应的后验分布、似 Nelsen对N维Copula函数定义为具有以下性 然函数、先验分布。 质的函数C:(1)C=N=[0,1],(2)C的边缘分 为不失一般性，令(X1,X2)为一二维连续随机 布Cn()满足Cn(u)=C(1,…,1,,1…l)=4, 变量，那么其在Copula函数下相应的联合概率密度 其中，u∈[0,1]，n∈[1，N];(3)C对它的每一个变 函数为： 量都是递增的3]27-250 f(x,x2|)=c(F(x1I,F2(x2{) 显然，一个N维Copula函数是一个N维概率分 fi(x1f2(x2|)(1) 布函数，其边缘分布是限制在[0,1]上的均匀分 其中，F、F2与f、f分别为相应变量的边缘分布 布，在二维情况下，如果F(x1),F2(x2)是随机变量 函数与边缘密度函数，c为Copula函数的概率密度 X1,X2的分布函数，那么C(F1(x1),F2(x2)可以 函数。 作为(X1,X2)的联合分布函数。 如果X=(x1,x2),…,(x1w,x2n)是上述分 目前常用的Copula函数估计方法主要有以下 布的一个云.i.d样本，那么其似然函数为6们13： 几种：精确极大似然估计法(EML),该方法需要已 L(=Ic(F(u),F2() 知边缘分布，其缺陷是当碰到高维数据时，会有很大 fi(x:|f2(x2:|) (2) 的计算量；分步极大似然估计法(IFM),该方法也需 这样，在已知Copula函数模型参数向量的先验 已知边缘分布，对参数的日的估计分为2步，缓解了 分布时，就可以得到其后验分布的核。 计算量的问题，但估计2次会导致误差积累放大；规 (二)MCMC方法 范化的极大似然估计法(CML),从理论上来讲， MCMC方法是使用马尔科夫链的蒙特卡罗积 CML是以上三种估计方法中最好的方法，因为它没 分，其基本思想是：构造一条Markov链，使其平稳 有对边缘分布形式作出假设。如果对边缘分布的形 分布为待估参数的后验分布，通过这条马尔科夫链 式作出错误的判断，EML和IFM方法将改变变量 产生的后验分布的样本，并给予马尔科夫链达到平 间的相依结构；非参数估计方法，该方法较其他方法 稳分布时的样本进行蒙特卡罗积分。在采用 来说计算简单，但使用范围主要适用于 MCMC方法时，马尔科夫链转移核的构造至关重 Archimedean Copulas. 要，不同的转移核构造方法，将产生不同的MCMC 对于最优Copula函数的选取，基于Copula分 方法，目前常用的MCMC方法主要有两种，Gibbs 布函数与条件分布的QQ图法直观、快捷，但其缺乏 抽样和Metropolis-一Hastings算法。 量化的标准，且有时无法辨别图形间微小差别；计算 Metropolis一Hastings算法是比较一般化的 并比较理论Copula函数C与经验Copula函数Cn MCMC方法[]176-25，该方法的基本思路是：任意选 之间的距离，也是比较常用的方法；Roberto De 择一个不可约转移概率g(,·)以及一个函数α(， Matteis和Dobric et al.分别提出了基于K-S检验 与P维x检验的拟合优度检验，Daniel Berg对 ·),0<a(,)≤1，对任一组合(x,x)(x≠x),定 义： Copula函数选取的拟合优度检验做了系统的总结 (3) 和比较]，Chen和Fan提出一种伪似然比检验方法 p(x,x)=q(z,z')a(z,z')' 则(x,x)形成一个转移核。在有了q(,·) 来选择最优Copula函数；Huard et al.建议一种基 于贝叶斯理论的Copula函数选取方法。以上方法 后，应选择一个a(·,),使相应的(x,x)以r(x) 为其平稳分布，最常用的选择是： 基本均需对原变量序列进行数据变换，因此会对样 本数据信息造成一定的丢损。 a(,)=min(1,(2(( (4) x(z)q(z,x') 三、Copula函数模型的贝叶斯分析 此时，(x,x)为： (x,x)= (一)模型的贝叶斯推断 9(x,x') (z)q(z',z)(x)q(I,I) 根据贝叶斯定理，对Copula函数模型进行贝叶 斯推断，关键是在已知观察数据下，获得模型参数的 q(x',)( x(x) a(x')q(I',z)<()q(x,x') 后验分布。即x()oc()(),其中平为Copula (5) 34 万方数据统计与信息论坛 二、Copula函数 Nelsen对N维Copula函数定义为具有以下性 质的函数C：(1)C=p=[o，1]N；(2)C的边缘分 布C。(·)满足G(uD=C(1’．．·，l，‰，l…1)=‰， 其中，U∈[o，1]，以∈[1，N]；(3)C对它的每一个变 量都是递增的[3]227-250。 显然，一个N维Copula函数是一个N维概率分 布函数，其边缘分布是限制在[O，1]N上的均匀分 布，在二维情况下，如果F1(z1)，F2(z2)是随机变量 X。，x2的分布函数，那么C(F1(z1)，F2(zz))可以 作为(X，，Xz)的联合分布函数。 目前常用的Copula函数估计方法主要有以下 几种：精确极大似然估计法(EMI。)，该方法需要已 知边缘分布，其缺陷是当碰到高维数据时，会有很大 的计算量；分步极大似然估计法(IFM)，该方法也需 已知边缘分布，对参数的0的估计分为2步，缓解了 计算量的问题，但估计2次会导致误差积累放大；规 范化的极大似然估计法(CMI。)，从理论上来讲， CMI。是以上三种估计方法中最好的方法，因为它没 有对边缘分布形式作出假设。如果对边缘分布的形 式作出错误的判断，EMI。和IFM方法将改变变量 间的相依结构；非参数估计方法，该方法较其他方法 来说计算简单，但使用范围主要适用于 Arehimedean Copulas。 对于最优Copula函数的选取，基于Copula分 布函数与条件分布的QQ图法直观、快捷，但其缺乏 量化的标准，且有时无法辨别图形间微小差别；计算 并比较理论Copula函数C与经验Copula函数G 之间的距离，也是比较常用的方法；Roberto De Matteis和Dobric et a1．分别提出了基于K—S检验 与P维x2检验的拟合优度检验[4]，Daniel Berg对 Copula函数选取的拟合优度检验做了系统的总结 和比较[51；Chen和Fan提出一种伪似然比检验方法 来选择最优Copula函数；Huard et a1．建议一种基 于贝叶斯理论的Copula函数选取方法。以上方法 基本均需对原变量序列进行数据变换，因此会对样 本数据信息造成一定的丢损。 三、Copula函数模型的贝叶斯分析 (一)模型的贝叶斯推断 根据贝叶斯定理，对Copula函数模型进行贝叶 斯推断，关键是在已知观察数据下，获得模型参数的 后验分布。即，r(Y0。c l(掣)p(1lQ，其中y为Copula 34 函数的参数与边缘分布函数的参数组成的参数向 量，7r(奶、z(奶、夕(奶分别为相应的后验分布、似 然函数、先验分布。 为不失一般性，令(X·，X2)为一二维连续随机 变量，那么其在Copula函数下相应的联合概率密度 函数为： f(zl，z2 I奶=c(F1(z1 I奶，F2(z2 l蚧) ^(xl I奶^(xz I奶 (1) 其中，Fl、F2与厂1√；分别为相应变量的边缘分布 函数与边缘密度函数，c为Copula函数的概率密度 函数。 如果X=((xtl，z21)，．．·，(zl。，X2。))是上述分 布的一个i．i．d样本，那么其似然函数为[6]3卜髓： L(奶=Ⅱ：，c(F。(她I奶，F2(x2；I奶) ^(zlf l奶^(xzf I奶 (2) 这样，在已知Copula函数模型参数向量的先验 分布时，就可以得到其后验分布的核。 (二)MCMC方法 MCMC方法是使用马尔科夫链的蒙特卡罗积 分，其基本思想是：构造一条Markov链，使其平稳 分布为待估参数的后验分布，通过这条马尔科夫链 产生的后验分布的样本，并给予马尔科夫链达到平 稳分布时的样本进行蒙特卡罗积分。在采用 MCMC方法时，马尔科夫链转移核的构造至关重 要，不同的转移核构造方法，将产生不同的MCMC 方法，目前常用的MCMC方法主要有两种，Gibbs 抽样和Metropolis--Hastings算法。 Metropolis--Hastings算法是比较一般化的 MCMC方法[7]17卜235，该方法的基本思路是：任意选 择一个不可约转移概率q(·，·)以及一个函数口(·， ·)，o<口(·，·)≤1，对任一组合(z，z7)(z≠z7)，定 义： p(x，z7)=q(x，z7)口(z，z7) z≠z7 (3) 则p(x，z7)形成一个转移核。在有了q(·，·) 后，应选择一个口(·，-)，使相应的p(x，z7)以，r(z) 为其平稳分布，最常用的选择是： 缸√)=min{·，≤黜) (4) 此时，p(x，z7)为。 p(x，z7)= fq(x，z7) 丌(z7)q(z7，z)≥，r(z)q(z，z7) 1如7彤)籍“z，)q＆7汀)<“动如汀，) (5) 万方数据