1、替换原理及矩法估计 用样本矩去替换总体矩（矩可以是原点矩也可以是中心矩），用样本矩的函数去替换总 体矩的函数，这就是替换原理 用替换原理得到的未知参数的估计量称为矩法估计。 注矩法估计适用于总体分布形式未知场合，因此只要知道总体相应的矩即可，而不必 知道其具体分布。 2、概率函数p(x,)已知时未知参数的矩法估计 设总体的概率函数p(x:日，，日)，（旧，…，0）∈日是未知参数，x1,x2,…,xn是 总体X的样本，若EX存在，则<k,EX存在。设 41=EX=y,(8,…,)j=l2,…,k, 如果日，…，0也能够表示成4，…4，的函数0，=0，(41，…，4人j=1,2,…,k,则可给出 日，的矩估计量为0，=6，(a,…a=12…,k,其中a,=2x,j=l2,…,k n i 设刀=g日，，日)是日，…，日的函数，则利用替换原理可得到n的矩估计量 方=g(0,…,0),其中0，是0，的矩估计，j=1,2,…,k。 例61.2设总体为指数分布，其密度函数为p(x,)=“,x>0,x1,x2,,xn为样 本，2>0为未知参数，求入的矩估计。 解：X~BBX=分=武，京=日为无的矩估计. 1 1 计。因此矩估计不唯一，此时，尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。 例6.13设总体X~Ua,b],名，2，，xn为样本，求a,b的矩估计。 解X~Ua,1Er=ao,ar=6-a 2 12 的 Er=0+6 a =EX-3VarX 12 所以a,b的矩估计为 a=x-3s B=X+3s1、替换原理及矩法估计 用样本矩去替换总体矩（矩可以是原点矩也可以是中心矩），用样本矩的函数去替换总 体矩的函数，这就是替换原理。 用替换原理得到的未知参数的估计量称为矩法估计。 注 矩法估计适用于总体分布形式未知场合，因此只要知道总体相应的矩即可，而不必 知道其具体分布。 2、概率函数 p(x, ) 已知时未知参数的矩法估计 设总体的概率函数 ( ) 1 k p x； ，， ，(1 ,  , k ) 是未知参数， n x , x , , x 1 2  是 总体 X 的样本，若 k EX 存在，则 j j  k,EX 存在。设 EX j k j k j j ( , , ), 1,2, ,  = = 1   =  ， 如果   k , , 1  也能够表示成  k , , 1  的函数 j k j j k ( , , ), 1,2, ,  =  1   =  ，则可给出  j 的矩估计量为 a a j k j j k ( , , ), 1,2, , ˆ ˆ  =  1  =  ，其中 x j k n a n i j j i , 1,2, , 1 1 =  =  = 设 ( , , )  = g 1   k 是   k , , 1  的函数，则利用 替换原理 可得到  的矩估计量 ) ˆ , , ˆ ˆ (  = g 1   k ，其中  j ˆ 是  j 的矩估计， j = 1,2,  , k 。 例 6.1.2 设总体为指数分布，其密度函数为 ( ; ) = ,  0 − p x e x x   ， n x , x , , x 1 2  为样 本，   0 为未知参数，求  的矩估计。 解   1  X ~ Exp( ), EX = ， EX 1  = ， x 1 ˆ  = 为  的矩估计。 注 2 1 ~ ( ),   X Exp  VarX = ， VarX 1  = S S 1 1 ˆ 2  = = 也为  的矩估 计。因此矩估计不唯一，此时，尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。 例 6.1.3 设总体 X ~ U[a,b]， n x , x , , x 1 2  为样本，求 a,b 的矩估计。 解 12 ( ) , 2 ~ [ , ], 2 b a VarX a b X U a b EX − = +   = 由      − = + = 12 ( ) 2 2 b a VarX a b EX ，得    = + = − b EX VarX a EX VarX 3 3 ， 所以 a,b 的矩估计为 ˆ 3 ˆ 3 a x s b x s  = −   = +