(iv)→(1):对n做数学归纳法。n=1时结论是显然的现设对n-1个变元的实二次型命 题成立考察V的子空间M(E1,E2……,En),f限制在M内在基E1,E2…,En-1下的 矩阵为 其各阶顺序主子式>0.按归纳假设,va∈M,a≠OQ(a)>0.于是,A合同于En 于是M内存在一组基n;,n2…,mn1,使f在此基下的矩阵为En1将n,n2,…,nn添 加ξ成为V的一组基令 5=5-∑f(n,5) 则7,n2…,nn1,s与η,2…,7n1,5等价,也是V的一组基且f(7,s)=0.故f 在n,n2…,n125下的矩阵为 o f(s B与A合同,有T∈M(R,Tk0,使TAT=B,于是 d=f(,s=BTI Ap 令刀n=方5,则m,n…,为V的一组基,且在此基下,f的矩阵为En,即A合同于En 从而f正定 最后,我们指出,n元实二次型可分为如下5类 1)正定二次型:正惯性指数=秩=n 2)半正定二次型:正惯性指数=秩 3)负定二次型:负惯性指数=秩=n 4)半负定二次型:负惯性指数=秩 5)不定二次型:其他      k k A   1 2 1 2 >0. (iv)  (i) :对 n 做数学归纳法。n=1 时结论是显然的.现设对 n-1 个变元的实二次型命 题成立.考察 V 的子空间 M=L( 1 2  n−1  ， ， ， ),f 限制在 M 内,在基 1 2  n−1  ， ， ， 下的 矩阵为               = − − − − − − − 11 12 1 1 21 22 2 1 11 12 1 1 1 n n n n n n n a a a a a a a a a A       其各阶顺序主子式>0.按归纳假设,   M ,  0,Qf ()  0 .于是, An−1合同于En−1 . 于是 M 内存在一组基 1，2，，n-1 ,使 f 在此基下的矩阵为 En−1 .将 1，2，，n-1 添 加  成为 V 的一组基.令  − = = − 1 1 ( , ) n i i i   f    则    , 1， 2，， n-1 与 1，2，，n-1 , 等价,也是 V 的一组基.且 f (i , ) = 0 .故 f 在    , 1， 2，， n-1 下的矩阵为         = − 0 ( , ) 1 0 f   E B n B 与 A 合同,有 T Mn(R),|T | 0,使TAT = B, 于是 ( , ) | | | | | | 0. 2 d = f   = B = T  A  令 , 1   d n = 则 1，2，，n 为V的一组基,且在此基下,f的矩阵为 En ,即A合同于 En , 从而 f 正定. 最后，我们指出，n 元实二次型可分为如下 5 类： 1） 正定二次型：正惯性指数＝秩＝n； 2） 半正定二次型：正惯性指数＝秩； 3） 负定二次型：负惯性指数＝秩＝n； 4） 半负定二次型：负惯性指数＝秩； 5） 不定二次型：其他