$2.3单纯形法 7 标准型： max 2 =401+45a2+24r3 2x1+3x2+x3+z4 =100 满足 31+3x2+2x +z5=120 马≥0对-切j 一、确定初始基本可行解 对一个线性规划何题，不能任意指定m个变量作为基变量.例如本何题中若选择 x1,r3为基变量.令r2=r4=c5=0.则得基本解：r1=80,x3=-60,r2=x4=r5=0 虽为基本解但不是基本可行解、对约束条件全为“<”形式的线性规划题在转化为标 准型后每一个约束条件方程左端都加了一个松弛变量.若取松弛变量为基变量，则很容易 得到一组基本可行解本例选择x4,5为基变量，则得一组基本可行解 x1=2=x=0,x4=100,x5=120 显然此时原问题的标准型即为初始基本可行解对应的典式。下面为这种典式对应的单纯 形表（初始单纯形表） 表2-1 40 4524 0 CB 120 2 C,-2 40 45 24 二、最优检验准则 最优检验准则： (1).对线性规划问题(1.6)，(1.7)，若基本可行解X对应的典式的目标函数中非基变 量的系数全部满足 CN-CBB-1≤0 则基本可行解X”为原何题的最优解 (②).对线性规划间题(1.6).(1.7)，若基本可行解X'对应的典式的目标函数中所有非 基变量的系数满足； Cw-CBB-1P≤0 且有一非基变量的系数满足，一k=0,则原问题有无穷多组最优解 (③).若基本可行解X'对应的典式的目标函数中非基变量k的系数大于零且k对 应的列向量P%=B-1P≤0，则原问题的解为无限界解. 证明：(1).不妨设基本可行解X'的基变量为x1,x2,,xm,则对应的典式为(1.13) §2.3 ♣☎q☎r❤s 7 t❩☎❡: max z = 40x1 + 45x2 + 24x3 ✉☎✈    2x1 + 3x2 + x3 +x4 = 100 3x1 + 3x2 + 2x3 +x5 = 120 xj ≥ 0✇☎✾☎① j. ②☎③⑤④☎⑥☎⑦☎⑧☎⑨☎⑩☎❶☎❷☎❸ ✇❹✾❹P❹❺❹❻❹❼❹❽❹◗❹❘, ✸❹❾❹❿❹➀❹➁❹❨ m P❹➂❹➃❹➄❹✴❹✭❹➂❹➃. ❝❹❙❹✮❹◗❹❘➆➅➇✷❹➈❹➉ x1, x3 ✴☎✭☎➂☎➃, ➊ x2 = x4 = x5 = 0, ✹☎❴☎✭☎✮☎✱: x1 = 80, x3 = −60,x2 = x4 = x5 = 0. ➋ ✴☎✭☎✮☎✱, ➌☎✸☎✲☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱. ✇☎➍☎➎☎➏☎➐☎➑☎✴ “≤” ❧☎➒☎❀☎❺☎❻☎❼☎❽☎◗☎❘, ❋☎➓☎♦☎✴t ❩☎❡☎➔☎→☎✾☎P☎➍☎➎☎➏☎➐☎➣☎↔☎↕☎➙☎➛☎➜☎➝☎✾☎P☎➞☎➟☎➂☎➃. ✷☎➠☎➞☎➟☎➂☎➃☎✴☎✭☎➂☎➃, ✹☎➡☎➢☎➤ ❴☎✼☎✾☎➥☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱. ✮☎❝☎➈☎➉ x4, x5 ✴☎✭☎➂☎➃, ✹☎❴☎✾☎➥☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱: x1 = x2 = x3 = 0, x4 = 100, x5 = 120 ➦✁➧✁➨✁➩✁➫◗✁❘✁❀t❩✁❡✁➭✁✴✁❲✁❳✁✭✁✮✁✯✁✰✁✱✁✇✁➯✁❀✁➲✁➒. ➳✁➵✁✴❍✁➸➲✁➒✁✇✁➯✁❀✁✐✁❦ ❧☎➺ (❲☎❳☎✐☎❦☎❧☎➺): ➺ 2–1 cj → 40 45 24 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 0 x4 100 2 3 1 1 0 0 x5 120 3 3 2 0 1 zj 0 0 0 0 0 cj − zj 40 45 24 0 0 ➻③⑤➼☎➽☎➾☎➚☎➪☎➶ ✵☎✶☎❬☎❭☎❩☎✹: (1). ✇☎❺☎❻☎❼☎❽☎◗☎❘ (1.6),(1.7), ✷☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ X0 ✇☎➯☎❀☎➲☎➒☎❀➘➹ t☎➴☎➷➅➮➬☎✭✁➂ ➃☎❀☎➱➷ ➑☎✃✉☎✈: CN − CBB −1Pj ≤ 0 ✹☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ X0 ✴➫ ◗☎❘☎❀☎✵☎✶☎✱. (2). ✇☎❺☎❻☎❼☎❽☎◗☎❘ (1.6),(1.7), ✷☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ X0 ✇☎➯☎❀☎➲☎➒☎❀➘➹ t☎➴☎➷➅➮❐☎❒✁➬ ✭☎➂☎➃☎❀☎➱➷☎✉☎✈: CN − CBB −1Pj ≤ 0 ❮ ❒☎✾☎➬☎✭☎➂☎➃☎❀☎➱➷☎✉☎✈ ck − zk = 0, ✹➫ ◗☎❘☎❒☎❰☎Ï☎Ð☎➥☎✵☎✶☎✱. (3). ✷☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ X0 ✇☎➯☎❀☎➲☎➒☎❀➘➹ t☎➴☎➷➅❥➬☎✭☎➂☎➃ xk ❀☎➱➷☎Ñ☎Ò☎Ó❮ xk ✇ ➯☎❀☎Ô❤Õ❥➃ P 0 k = B−1Pk ≤ 0, ✹➫ ◗☎❘☎❀☎✱☎✴☎❰☎Ö☎×☎✱. Ø☎Ù: (1). ✸☎Ú☎Û☎✭☎✮☎✯☎✰☎✱ X0 ❀☎✭☎➂☎➃☎✴ x1, x2, . . . , xm, ✹☎✇☎➯☎❀☎➲☎➒☎✴ (1.13)