P AP= 从而4(=1,2,…,m)为A的特征值,P的列向量a(G=1,2,…,n)为A的对应于,的特征 向量 定理8对n阶实方阵A, (1)存在酉阵U(即U-1=UH=U1),使得 1hi2…n UAU (上三角阵), 其中r(=1,2,…,n)为A的特征值; (2)存在正交阵Q使得 RI R 其中R(=1,2,…,m)为1阶或2阶方阵,且每个1阶R为A的实特征值,每个2阶对角 线块R的两个特征值为A的两个共轭复特征值 ★特征值的估计及扰动问题 了解特征值在复平面上的分布以及对矩阵扰动的敏感性,对选择、设计求解特征值问题 的数值方法并提高方法的收敛速度具有重要的指导意义 对任何实方阵A=(an)xn,其特征值满足 A2≤|4‖ 其中4为A的任何范数,常见的有 4=max∑l 4l2=Vp(A),p(4)表示A的谱半径160 1 2 T n P AP          =       ， 从而 ( 1,2, , ) i  i n = 为 A 的特征值， P 的列向量 ( 1,2, , ) j u j n = 为 A 的对应于  j 的特征 向量。 定理 8 对 n 阶实方阵 A ， （1）存在酉阵 U （即 H T U =U =U −1 ），使得 11 12 1 22 2 n H n nn r r r r r U AU r       =       （上三角阵）， 其中 ( 1,2, , ) ii r i n = 为 A 的特征值； （2）存在正交阵 Q 使得 11 12 1 22 2 m T m mm R R R R R Q AQ R       =       ， 其中 ( 1,2, , ) R i m ii = 为 1 阶或 2 阶方阵，且每个 1 阶 Rii 为 A 的实特征值，每个 2 阶对角 线块 Rjj 的两个特征值为 A 的两个共轭复特征值。 ＊ 特征值的估计及扰动问题 了解特征值在复平面上的分布以及对矩阵扰动的敏感性，对选择、设计求解特征值问题 的数值方法并提高方法的收敛速度具有重要的指导意义。 对任何实方阵 A = aij nn ( ) ，其特征值  满足   A ， 其中 A 为 A 的任何范数，常见的有 1 max n ij i j A a  = =  ， 1 1 max n ij j i A a = =  ， 2 ( ) T A A A =  ， ( ) A 表示 A 的谱半径