存在c>0使得 卩≤cr 若T=∫是X上的线性泛函并且∫≠0,则以上诸条件还等价于 (6)∫的0空间N(O)={x∈X;f(x)=0}是X中的闭集 (7)N(不在X中稠密 证明(1)→(2)若T在x。连续,即Vxn 且y→y,令x=y,-y+x,则x→,“七时Tx→x0若y∈x是任一点并 Tx =T( T是线性的,故Ty (2)→(3)若T不是有界的,则存在有界集AcX,7(4在Y中不是有界的.即 使得|xn|≥n.不妨设|x|sM,取 则lyn|≤M/ y→0.而阿,|=x,/Vn>Vn→∞.T在0点不是连续的,与(2)矛盾 (3)→(4)显然 (4)→(5)不妨设T在S(x,n)=(x∈x,|x-x}中有界,其中x∈X,r>0.注 s(0,1)+x0=S(xa,r) 由T的线性,T在S(x0,r)上的有界性必导致它在S(x,r)-x0上的有界性,从而导致在S(O,1) 上的有界性为证(5),假定在S(0,1)上,x≤c,则wx∈x,x≠0,x|∈S(O,1),从而 此式对于任何vx∈X成立 (5)→(1)由(5)中式子不难知道,xn→0时Txn→0,T在0点连续 现在设∫为X上的线性泛函并且∫≠0 (2)→(6)若∫在X上连续,由于{0}是Φ中的闭集,由第4讲定理3,N()= f-({0})是X中的闭集 (6)→(7)若N(在X中稠密,由(6)知N()=N()=X.与∫≠0矛盾 (7)→(3)由(7),x0∈X,r>0使得Ox,r)∩N()=.若∫不是有界泛函,由 (3)与(4)等价性的证明知道,∫在任一点的有界邻域上都不是有界的.特别地∫不在O(0,r) 上有界.我们证明此时f(O(0,n))=Φ,后者是整个标量域.实际上,va∈φ,存在 x∈O(0,n)∈OO,使得(x)>,取x a x f(r) 则<|<r,x∈O(0,r).另一方面 f(x)=a(5) 存在 c＞0 使得 Tx ≤ c x , ∀x∈ X. （1） 若T = f 是 X 上的线性泛函并且 f ≠ 0 , 则以上诸条件还等价于： (6) f 的 0 空间 N( f ) = {x∈ X; f (x) = 0} 是 X 中的闭集. (7) ) N( f 不在 X 中稠密. 证明 (1)⇒ (2) 若 T 在 0 x 连续，即∀ 0 x x n → 时Txn →Tx0 . 若 y ∈ X 是任一点并 且 y y n → ，令 0 x y y x n = n − + ，则 0 x x n → . 从而 0 0 Tx T( y y x ) Tx n = n − + → ， T 是线性的，故 Ty Ty n → . (2) ⇒ (3) 若 T 不是有界的，则存在有界集 A ⊂ X, T(A) 在 Y 中不是有界的. 即 ∀n, , ∃xn ∈ A 使得 Tx n n ≥ . 不妨设 xn ≤ M ，取 y x / n, n = n 则 y ≤ M / n → 0, n 即 yn → 0 . 而 Ty n = Txn / . n > n → ∞ T 在 0 点不是连续的，与(2)矛盾. (3)⇒ (4) 显然. (4)⇒ (5) 不妨设 T 在 ( , ) 0 S x r =｛ x∈ X x − x ≤ r 0 ; ｝中有界，其中 , 0. x0 ∈ X r > 注 意 ) (0,1) ( , 0 0 rS + x = S x r （2） 由 T 的线性，T 在 ( , ) 0 S x r 上的有界性必导致它在 0 0 S(x , r) − x 上的有界性，从而导致在 S(0,1) 上的有界性. 为证(5)，假定在 S(0,1) 上， Tx ≤ c ，则∀x∈ X, x ≠ 0, x / x ∈ S(0,1), 从而 ( ) c, T(x) c x , x x T ≤ ≤ 此式对于任何∀ ∈x X 成立. (5)⇒ (1) 由(5)中式子不难知道， → 0 n x 时 → 0 Txn ，T 在 0 点连续. 现在设 f 为 X 上的线性泛函并且 f ≠0. (2)⇒ (6) 若 f 在 X 上连续， 由于｛0｝是Φ中的闭集，由第 4 讲定理 3， N( f ) ＝ ({0}) −1 f 是 X 中的闭集. (6)⇒ (7) 若 N( f ) 在 X 中稠密，由(6)知 N( f ) ＝ N( . f ) = X 与 f ≠0 矛盾. (7)⇒ (3) 由(7)， 0 ∃∈ > x Xr, 0使得 0 Ox r N f ( ,) () ∩ = ∅ . 若 f 不是有界泛函，由 (3)与(4)等价性的证明知道， f 在任一点的有界邻域上都不是有界的. 特别地 f 不在O(0,r) 上有界. 我们证明此时 f ( O(0,r) ）＝Φ，后者是整个标量域. 实际上， ∀α ∈Φ, 存在 x'∈O(0, r) ∈O(0,r), 使得 f (x') > α ，取 ( ') ' f x x x α = ，则 x < x' < r, x∈O(0,r) . 另一方面 f (x) =α