证明:反证法.设方程有解,即存在复矩阵A使得A2=B 我们注意到B的特征值为0,且其代数重数为3 (4分) 设λ为A的一个特征值,则入2为B的特征值.所以λ=0.从而A的特征值 均为0 (6分 000 010 于是A的 Jordan标准型只可能为J=000,=000或 J 000 从而A2的 Jordan标准型只能为J1=h=乃或h2=乃 因此42的秩不大于1,与B=A2的秩为2矛盾. 所以X2=B无解.证毕 15分 、(10分)设DCR2是凸区域,函数f(x,y)是凸函数.证明或否定:f(x,y) 在D上连续 注:函数f(x,y)为凸函数的定义是a∈(0,1)以及(x1,y),(x2,y2)∈D,成立 f(ax1+(1-a)x2,ay+(1-a)y2)≤af(x1,y)+(1-a)f(x2,y) 证明:结论成立.我们分两步证明结论. 对于>0以及[xo-5,xo+。]上的一元凸函数9(x),容易验证x∈ 9(xo)-9(x0-)9(x)-9(x0)9(xo+6)-9(xo) 第2页(共8页)y²: ‡y{. §k), =3EÝ A ¦ A2 = B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 ©) ·‚5¿ B AŠ 0, …Ùê­ê 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 ©)  λ  A ‡AŠ, K λ 2  B AŠ. ¤± λ = 0. l A AŠ þ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 ©) u´ A  Jordan IO.ŒUJ1 =   0 0 0 0 0 0 0 0 0   , J2 =   0 1 0 0 0 0 0 0 0   ½ J3 =   0 1 0 0 0 1 0 0 0   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(10 ©) l A2  Jordan IO.U J1 = J 2 1 = J 2 2 ½ J2 = J 2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(12 ©) Ïd A2 ØŒu 1, † B = A2  2 gñ. ¤± X2 = B Ã). y.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(15 ©) ✷ n!(10 ©)  D ⊂ R2 ´à«, ¼ê f(x, y) ´à¼ê. y²½Ä½: f(x, y) 3 D þëY. 5: ¼ê f(x, y) à¼ê½Â´ ∀ α ∈ (0, 1) ±9 (x1, y1),(x2, y2) ∈ D, ¤á f(αx1 + (1 − α)x2, αy1 + (1 − α)y2) ≤ αf(x1, y1) + (1 − α)f(x2, y2). y²: (ؤá. ·‚©üÚy²(Ø. (i) éu δ > 0 ±9 [x0 − δ, x0 + δ] þà¼ê g(x), N´y ∀ x ∈ (x0 − δ, x0 + δ): g(x0) − g(x0 − δ) d ≤ g(x) − g(x0) x − x0 ≤ g(x0 + δ) − g(x0) δ . 12 (
8)