2008春季班 线性代数第7章特征值与特征向量 12-3 例12设矩阵A 14-3的特征方程有一个 二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化 例13设n阶方阵A满足A2-5A+6E=0,试证明 矩阵A和对角矩阵相似 b b 例14设m阶矩阵b1 b b (1)求A的特征值和特征向量; (2)求可逆矩阵P,使得PAP为对角矩阵 7.5实对称矩阵的对角化 实对称矩阵的特征值一定是实数.也就是说,n阶 方阵一定有n个实的特征值 实对称矩阵对应不同特征值的特征向量正交 实对称矩阵的这个性质,使我们可以找到正交矩 阵,使得实对称矩阵和对角矩阵既相似又合同 例15设3阶实对称矩阵A的秩为2,A1=2=6是 A的二重特征值,若a1=(1,1,0)7,2008 春季班 线性代数 第 7 章 特征值与特征向量 7—6 例 12 设矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 1 5 1 4 3 1 2 3 a A 的特征方程有一个 二重根，求a的值，并讨论 A是否可相似对角化． 例 13 设n阶方阵 A满足 5 6 0 2 A − A+ E = ，试证明 矩阵 A和对角矩阵相似． 例 14 设n阶矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 " " " " " " " b b b b b b A ， （1）求 A的特征值和特征向量； （2）求可逆矩阵P ，使得P AP −1 为对角矩阵． 7.5 实对称矩阵的对角化 实对称矩阵的特征值一定是实数．也就是说，n阶 方阵一定有n个实的特征值． 实对称矩阵对应不同特征值的特征向量正交. 实对称矩阵的这个性质，使我们可以找到正交矩 阵，使得实对称矩阵和对角矩阵既相似又合同． 例 15 设 3 阶实对称矩阵 A的秩为 2， 6 λ1 = λ 2 = 是 A的二重特征值，若 ( ) T 1, 1, 0 α 1 =