a2? 设a1,a2…,∝n的秩为r,无妨设a1ax2…ar,为其极大线性无关部分组,则 ar1,-an+2,…-n皆可被a12a2…a,线性表出,即 存在k∈K(1≤i≤n-,1≤j≤r),使得 Kua,+k,a2 k, a a,2=k2,a,+k2a2+.+k,,a +k k 即k1(1+k2a2+…+k1a1+1·am=0,(=1,2,…n-r)。于是S中含有向量 7=(k1k12…,kr,1,0,…,0), 72=(k21,k2,…kr,O,1,…,O) 只需要证明n,n2…,n是解向量组的一个极大线性无关部分组即可。易见,向量组 7,n2…,n线性无关。只需要再证明n1,n2…,n能线性表出任意一个β∈S即可。为 此,需要证明引理 引理设E12E2…E线性无关,δ可被E1,E2,…,E,线性表出,则表示法唯 证明 =k1E1+k2E2 l1+l22 两式相减,得到 (k1-l1)E1+(k2-l2)E2 (k-l)E1=0 由于E1E2,…,E线性无关,故各E;(1≤i≤D)的系数皆为零,于是k1=l1(),即δ的表示 法唯一。引理证毕 现在回到定理的证明。设(C12C2…,Cn)∈S,则有 a1+c2a2+…+c,ax+cr+1 (1) 考虑=Cn1+cn+22+…+Ccnn∈S,则形如(c,C2…Cn',C1,Cn2,…,Cn),且有 C + 'a11 21 1 m1 a a a        =       ， 12 22 2 m2 a a a        =       ，…， 1 2 . n n n mn a a a        =       设 1 2 , , ,   n 的 秩 为 r ，无妨设 1 2 , , ,   r 为 其 极 大 线 性 无 关 部 分 组 ， 则 1 2 , , , − − −    r r n + + 皆可被 1 2 , , ,   r 线性表出， 即 存在 (1 , 1 ) ij k K i n r j r    −   ，使得 1 11 1 12 2 1 , r r r     k k k − = + + + + 2 21 1 22 2 2 , r r r     k k k − = + + + + , n n r 1 1 n r 2 2 n r r r − = k −  + k −  ++ k −  即 1 1 2 2 1 0, ( 1,2, ) i i ir r r i k k k i n r     + + + + • = = − + 。于是 S 中含有向量 1 11 12 1 ( , , , ,1,0, ,0), r  = k k k 2 21 22 2 ( , , , ,0,1, ,0), r  = k k k ( , , , ,0, 0, ,1)  n−r = k n−r 1 k n−r 2  k n−r r   . 只需要证明 1 2 , , ,   n r − 是解向量组的一个极大线性无关部分组即可。易见，向量组 1 2 , , ,   n r − 线性无关。只需要再证明 1 2 , , ,   n r − 能线性表出任意一个  S 即可。为 此，需要证明引理： 引理 设 1 2 , , , t    线性无关，  可被 1 2 , , , t    线性表出，则表示法唯一。 证明 设 1 1 2 2 1 1 2 2 t t t t k k k l l l        = + + = + + + ， 两式相减，得到 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 t t t k l k l k l − + − + + − =    . 由于 1 2 , , , t    线性无关，故各 (1 i t)  i   的系数皆为零，于是 k l ( i) i = i  ，即  的表示 法唯一。引理证毕。 现在回到定理的证明。设 1 2 ( , , , ) n c c c S  ，则有 1 1 2 2 1 1 2 2 0 r r r r r r n n c c c c c c       + + + + + + + = + + + + . （1） 考虑 r r n n r 1 1 2 2     c c c S = + + +  + + − ，则  形如 1 2 1 2 ( ', ', , ', , , , ) r r r n c c c c c c + + ，且有 1 1 2 2 1 1 2 2 ' ' ' 0 r r r r r r n n c c c c c c       + + + + + + + = + + + + . （2）