第2章命题逻辑 第1节引言 通常意义下的命题是指有真假值的语句。一个复杂的命题可以分解成若干简单的原 子命题。这些原子命题与复合命题的关系,就是命题逻辑研究的范围。 对初学者来说,一个很自然的问题是当我们研究逻辑时我们用的是什么逻辑?如果我 们用逻辑本身来研究逻辑,那不是循环论证吗?这就引出逻辑学习中区分元逻辑和对象逻 辑的重要性。打个比方来说,我们想要研究人脑的某些功能,但自己直接研究自己是很困 难的。我们于是造一个机器人(或用某个计算机程序来模拟),对机器人我们可以研究得 清清楚楚。虽然机器人与我们相差很远,但如果我们感兴趣的功能是计算或下棋等等,那 么机器人或许可以很近似地模拟人脑,因此我们可以间接地通过研究机器人来了解人脑 的这一部分功能。这个比方中的人脑相当于我们的“元逻辑”,而机器人则相当于“对象 逻辑”。既然计算机学家在研究机器人时完全不必问我们人脑是怎样运作的,我们在研究 对象逻辑时也可以暂时不用考虑我们用的是什么逻辑。只有在我们把当前的功能研究清 楚之后,我们再来思考怎样让机器人更接近人脑。类似的区分还有很多,例如当我们用中 文来研究语言学或计算机语言学,中文就是“元语言”而被硏究的语言或计算机语言则是 ˆ对象语言”。当对象逻辑越来越像元逻辑时,两者的区别越来越小。而命题逻辑因其简 单,比较容易从元逻辑中分别岀来,例如没有人会认为自然数的性质如归纳法是命题逻辑 里面的,所以便于初学者分清元逻辑和对象逻辑,这样在学习一阶逻辑时可以减少一些困 扰。这是本章的一个重要目的。 数理逻辑的一个重要方面是研究手段的局限。贯穿我们课程的一个中心问题是:是否 真的命题都可证。“真”是我们的目的,而“证明”是我们的手段。我们的手段能达到目 的吗?要想回答这个问题,我们首先要搞清楚“真”是什么意思,“证明”又是什么。这 两个重要概念中,“真”属于语义范畴,而“证明”属于语法范畴。在学习过程中,我们 常把“语法”与“语义”分开讨论,但这是暂时的,如同体育活动中分解动作一样。最终 两者是不可分的。语法一边让人想到机器,规则,算法;语义则让人想到人(脑),意义, 真假等等 事实上,一阶逻辑中“是否真的命题都可证”这个问题是我们真正想回答的。但为了 分散学习难点,我们在材料安排上,特意让命题逻辑与一阶逻辑沿相似的主线发展,都包第 2 章 命题逻辑 第 1 节 引言 通常意义下的命题是指有真假值的语句。一个复杂的命题可以分解成若干简单的原 子命题。这些原子命题与复合命题的关系，就是命题逻辑研究的范围。 对初学者来说，一个很自然的问题是当我们研究逻辑时我们用的是什么逻辑？如果我 们用逻辑本身来研究逻辑，那不是循环论证吗？这就引出逻辑学习中区分元逻辑和对象逻 辑的重要性。打个比方来说，我们想要研究人脑的某些功能，但自己直接研究自己是很困 难的。我们于是造一个机器人（或用某个计算机程序来模拟），对机器人我们可以研究得 清清楚楚。虽然机器人与我们相差很远，但如果我们感兴趣的功能是计算或下棋等等，那 么机器人或许可以很近似地模拟人脑，因此我们可以间接地通过研究机器人来了解人脑 的这一部分功能。这个比方中的人脑相当于我们的“元逻辑”，而机器人则相当于“对象 逻辑”。既然计算机学家在研究机器人时完全不必问我们人脑是怎样运作的，我们在研究 对象逻辑时也可以暂时不用考虑我们用的是什么逻辑。只有在我们把当前的功能研究清 楚之后，我们再来思考怎样让机器人更接近人脑。类似的区分还有很多，例如当我们用中 文来研究语言学或计算机语言学，中文就是“元语言”而被研究的语言或计算机语言则是 “对象语言”。当对象逻辑越来越像元逻辑时，两者的区别越来越小。而命题逻辑因其简 单，比较容易从元逻辑中分别出来，例如没有人会认为自然数的性质如归纳法是命题逻辑 里面的，所以便于初学者分清元逻辑和对象逻辑，这样在学习一阶逻辑时可以减少一些困 扰。这是本章的一个重要目的。 数理逻辑的一个重要方面是研究手段的局限。贯穿我们课程的一个中心问题是：是否 真的命题都可证。“真”是我们的目的，而“证明”是我们的手段。我们的手段能达到目 的吗？要想回答这个问题，我们首先要搞清楚“真”是什么意思，“证明”又是什么。这 两个重要概念中，“真”属于语义范畴，而“证明”属于语法范畴。在学习过程中，我们 常把“语法”与“语义”分开讨论，但这是暂时的，如同体育活动中分解动作一样。最终 两者是不可分的。语法一边让人想到机器，规则，算法；语义则让人想到人（脑），意义， 真假等等。 事实上，一阶逻辑中“是否真的命题都可证”这个问题是我们真正想回答的。但为了 分散学习难点，我们在材料安排上，特意让命题逻辑与一阶逻辑沿相似的主线发展，都包 1