第十九讲球函数 第9页 3193 Legendre多项式的微分表示 Legendre多项式的微分表示是 PI(a) 27 drl (x2-1) 这个表达式也称为 rodrigues公式 证因为 (x2-1)2=(x-1y2+(x-1)y n!(l-m)! 所以 0=m-+-a(-mx+m(2) 多 这样就证明 Legendre多项式的微分表示,口 从 Legendre多项式的微分表示,立即以看出 Legendre多项式的奇偶性:l为偶数时P(x) 是偶函数;1为奇数时P(x)是奇函数,即 (-x)=(-)P( 再结合P(x)在x=1点的数值,又以得到P(x)在x=-1点的数值, P 从 Legendre多项式的微分表示还以直接球出Lee多项式中所有各项的系数,从而导出 Legendre多项式的另一个显明表达式,为此, (x2-1)2展开 l! r!(l-r)! 然后逐项微商l次 r=0 r!(L-r) r!(-r)! 由于微商l次后,多项式的次数要降低l次,所以这里和式的上限就由微商前的l变为微商后的 /2].对比一下 Legendre多项式的微分表示,就得到 P2()=(-ym-2- 从这个表达式很容易求出 Legendre多项式P(x)在x=0点的数值: P2()=(-)Qy P2+1(0)=0Wu Chong-shi ➬➮➱✃ ❐ ❒ ❮ (❰) ❇ 9 ❈ §19.3 Legendre ✛✜✢❋➯➲➳➵ Legendre Û ñ➞❝ôõ➜➸❞ Pl(x) = 1 2 l l! d l dxl ￾ x 2 − 1
l . ❛ ❦ ➜➝➞Þú❷ Rodrigues ➐➞❂ ➺ t❷ ￾ x 2 − 1
l = (x − 1)l [2 + (x − 1)]l = X l n=0 l! n! (l − n)!2 l−n (x − 1)l+n , ß ❶ 1 2 l l! d l dx l ￾ x 2 − 1
l = d l dx l X l n=0 1 n! (l − n)!2 −n (x − 1)l+n = X l n=0 1 n! (l − n)! (l + n)! n!  x − 1 2 n . ❛❍ê ➊ Ï✇ Legendre Û ñ➞❝ôõ➜➸❂ ➵ Legendre Û ñ➞❝ôõ➜➸✕❨➣① ❶➽➈ Legendre Û ñ➞❝❧➻➋❲ l ❷➻ ➀➴ Pl(x) ❞ ➻Ý ➀ý l ❷❧➀➴ Pl(x) ❞ ❧Ý➀✕➣ Pl(−x) = (−) lPl(x). ➼➽➾ Pl(x) ⑤ x = 1 ♠ ❝➀Ü ✕➚ ① ❶➣↔ Pl(x) ⑤ x = −1 ♠ ❝➀Ü ✕ Pl(−1) = (−1)l . ➵ Legendre Û ñ➞❝ôõ➜➸á ① ❶➪➶➇➈ Legendre Û ñ➞ ➄ß✐➹ ñ❝➷ ➀✕➵ï❴➈ Legendre Û ñ➞❝➘➯ ❦➴ Ï ➜➝➞❂❷✉ ✕ ①➷ ￾ x 2 − 1
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l = X l r=0 (−) r l! r! (l − r)!x 2l−2r , ✯▲➬ñôÿ l û✕ d l dx l ￾ x 2 − 1
l = d l dx l X l r=0 (−) r l! r! (l − r)!x 2l−2r = [ X l/2] r=0 (−) r l! r! (l − r)! (2l − 2r)! (l − 2r)! x l−2r , ä➚ôÿ l û ▲ ✕ Û ñ➞❝û➀▼➮➧ l û✕ß ❶❛❜♥➞❝➧➱ ê ä ôÿ✃❝ l ❢ ❷ ôÿ▲ ❝ [l/2] ❂➾ ❐ ➯ ❙ Legendre Û ñ➞❝ôõ➜➸✕ê➣↔ Pl(x) = [ X l/2] r=0 (−) r (2l − 2r)! 2 l r! (l − r)! (l − 2r)!x l−2r . ➵❛❦ ➜➝➞❒ ◗❘➇➈ Legendre Û ñ➞ Pl(x) ⑤ x = 0 ♠ ❝➀Ü❲ P2l(0) = (−) l (2l)! 2 2l l! l! , P2l+1(0) = 0.