第1期 汪培庄：因素空间理论一机制主义人工智能理论的数学基础 ·39· 是一个属性而是一个二相映射了。因素与属性是不 因素0。一组因素称为两两不可约，如果两两之交 同层次的东西，前者统帅后者。当然，同一个词在 为0。不难证明P(F)=(P(F):u,n)形成一个因素 不同的场合中可以从属性变为因素，也可以从因素 格，这个因素格可以由偏序集（℉，）按下述方式形成： 变为属性。 FUG=Sup (F,G),FnG=Inf(F,G)(2) 只取定量性状空间的因素叫作定量因素，只取 F=ufu...Uf是在所定义的系统中最大的 定性性状空间的因素叫作定性因素。这样称呼仅仅 因素，叫作全因素。由此还可以定义余运算。F的 是为了叙述的方便。严格来说，定性与定量是一对 性状空间是那些不被F所包含的元性状空间的乘 普遍矛盾，它们对立统一地寓于事物之中，相互转 积。不难证明P(F)=(P(F),U,n,)形成一个因素布 化，因素既可以定性，也可以定量，我们对任何因素 尔代数。 都同时预备着定性与定量两种性状空间，以备相互 定义4记Xr=(X(F)hrE,称中=(UX)为 转换。在同时出现两种性状空间的时候，我们用 U上的一个因素空间。F*中的因素称为原始因素， XfD来表示定量性状空间。要将X()中的性状转化 P(F)中的其他因素称为合成因素，记X=X(f)× 为X()上的模糊或非模糊子集。这些事情要靠模糊 X()X…×X(f),叫作总性状空间。对于定性性 集和直觉模糊集等学科来完成。这种工作涉及坐标 状空间而言，任意a=(a1,2,…,an)eX叫作一个性状 框架的标定，对于因素空间来说至关重要。 颗粒。 定性映射决定论域的划分。设f是定义在论域 这个定义在以前一直引用的文献[5]的基础上 U上的一个因素，按这个因素的性状在论域U中定 做了简化。 义了一个等价关系~：对任意u,veU,u~v当且仅当 所有笛卡尔空间，例如力学的运动空间、控制 论的状态空间、模式识别的特征空间等，都是性状 f(a)=f(w)。一个等价关系决定U中对象的一个分 类，记对象u所在的类为[叫={v∈Uf(w)=f(m}。 空间。它们都可作为因素空间的特例，因素空间是 定义2记Hf,U)={u∈U),我们将它称为 笛卡尔空间的推广。如图1所示，任何事物都可以 f对U的划分。 像张三这样地被映射成为性状空间中的一个点，因 因素有简单与复杂之分，所谓f对U比g对U的 素空间为一般事物的描述提供了普适性的数学框 划分更细（记作Hf,U1H(g,U)是指：任给一个由 架。一群对象被映射成为性状空间中的样本点集。 g所分出的类[叫，必有f所分出的类[y使[vs[四。 要对这群对象分类，就必须将它们投射到因素性状 定义3设f,g是定义在U上的两个因素，如果 空间中来进行分割。 H(f,U)}H(g,U),则称因素f比g复杂，记作f≥g。反 年龄 之，则称因素f比g简单，记作f≤g。 体重 不难证明，任给U上的一个因素集F,(F,)形成 性 一个偏序集。给定U上的一组因素f:U→X(f) (j=1,2,…,,由它们所构成的集合F·={f,五，…，f 称为元因素集。对F的任意子集{f仙，f2,…,f,可 以定义一个U上的合成因素F:U→X(F),其状态 图1张三被映射为因素空间中的一个点 空间是 Fig.1 Mapping Zhang San mapped to a point in the factor X(F)=X(f)xX(f2)×…×X(fe) (1) space 记此因素的合成运算为F=fa ufU...Uf仙。式 1.2背景关系与背景分布 (1)的意思是：合成因素的性状空间被定义成其所含 定义5】给定U上的定性因素空间 元空间的笛卡尔乘积。对于任意两个合成因素，我 中=(U,Xr),对任意a=(a1,a2,…,an)eX,记其在 们可以定义它们的二次合成，其性状空间被定义成 U上的原相为 两组元的并集中诸元的性状空间的乘积。如此可以 [a]=F-(a)=(uEU F(u)=a) (3) 在F的幂集中定义因素之间的任意多次合成运算 [a可能是空集φ，若[a]≠中，则称a是一个实性 U。类似地，用两组元的交集中诸元性状空间的乘 状颗粒，否则称α是一个虚组态。全体实性状的集 积可以定义因素之间的另外一种运算，叫作分解 合记为 运算。分解运算可以直观地理解为提取两因素的最 R=F(U0={a=(a1,a2,…,an)∈X3u∈U; (4) 大子公因素。分解两个不含公共元的因素，可得零 fi(u)=a1,a2,…,fn(4)=an}是一个属性而是一个二相映射了。因素与属性是不 同层次的东西，前者统帅后者。当然，同一个词在 不同的场合中可以从属性变为因素，也可以从因素 变为属性。 X (f) X (f) X (f) 只取定量性状空间的因素叫作定量因素，只取 定性性状空间的因素叫作定性因素。这样称呼仅仅 是为了叙述的方便。严格来说，定性与定量是一对 普遍矛盾，它们对立统一地寓于事物之中，相互转 化，因素既可以定性，也可以定量，我们对任何因素 都同时预备着定性与定量两种性状空间，以备相互 转换。在同时出现两种性状空间的时候，我们用 来表示定量性状空间。要将 中的性状转化 为 上的模糊或非模糊子集。这些事情要靠模糊 集和直觉模糊集等学科来完成。这种工作涉及坐标 框架的标定，对于因素空间来说至关重要。 f U U u, v ∈ U u ∼ v f (u) = f (v) U [u]f = {v ∈ U | f (v) = f (u)} 定性映射决定论域的划分。设 是定义在论域 上的一个因素，按这个因素的性状在论域 中定 义了一个等价关系~：对任意 ， 当且仅当 。一个等价关系决定 中对象的一个分 类，记对象 u 所在的类为 。 H (f,U) = {[u]|u ∈ U } f 定义 2 记 ，我们将它称为 对 U 的划分。 f U g U H (f,U)}H (g,U) g [u]g f [ν]f [v]f ⊆ [u]g 因素有简单与复杂之分，所谓 对 比 对 的 划分更细 (记作 ) 是指：任给一个由 所分出的类 ，必有 所分出的类 使 。 f g U H (f,U)}H (g,U) f g f ⩾ g f g f ⩽ g 定义 3 设 ， 是定义在 上的两个因素，如果 ，则称因素 比 复杂，记作 。反 之，则称因素 比 简单，记作 。 U F ∗ ,(F ∗ ,}) fj : U → X ( fj ) (j = 1,2,··· ,n) F ∗ = {f1, f2,··· , fn} { f(1) , f(2) ,··· , f(k) } F : U → X (F) 不难证明，任给 上的一个因素集 形成 一个偏序集。给定 U 上的一组因素 ，由它们所构成的集合 称为元因素集。对 F *的任意子集 ，可 以定义一个 U 上的合成因素 ，其状态 空间是 X (F) = X ( f(1) ) × X ( f(2) ) × ··· × X ( f(k) ) (1) F = f(1) ∪ f(2) ∪ ··· ∪ f(k) F ∗ ∪ ∩ 记此因素的合成运算为 。式 (1) 的意思是：合成因素的性状空间被定义成其所含 元空间的笛卡尔乘积。对于任意两个合成因素，我 们可以定义它们的二次合成，其性状空间被定义成 两组元的并集中诸元的性状空间的乘积。如此可以 在 的幂集中定义因素之间的任意多次合成运算 。类似地，用两组元的交集中诸元性状空间的乘 积可以定义因素之间的另外一种运算 ，叫作分解 运算。分解运算可以直观地理解为提取两因素的最 大子公因素。分解两个不含公共元的因素，可得零 P(F ∗ ) = (P(F ∗ );∪,∩) (F ∗ ,}) 因素 0。一组因素称为两两不可约，如果两两之交 为 0。不难证明 形成一个因素 格，这个因素格可以由偏序集 按下述方式形成： F ∪G = Sup{F, G}, F ∩G = Inf{F, G} (2) F ∗ = f1 ∪ f2 ∪ ··· ∪ fn F c P(F ∗ ) = (P(F ∗ ),∪,∩, c ) 是在所定义的系统中最大的 因素，叫作全因素。由此还可以定义余运算c。 的 性状空间是那些不被 F 所包含的元性状空间的乘 积。不难证明 形成一个因素布 尔代数。 XF∗ = {X (F)}F∈P(F∗ ) ϕ = (U, XF∗ ) P(F ∗ ) X = X (f1)× X (f2)× ··· × X (fn) a = (a1,a2,··· ,an) ∈ X 定义 4 记 ，称 为 U 上的一个因素空间。F*中的因素称为原始因素， 中的其他因素称为合成因素，记 ， 叫作总性状空间。对于定性性 状空间而言，任意 叫作一个性状 颗粒。 这个定义在以前一直引用的文献[5]的基础上 做了简化。 所有笛卡尔空间，例如力学的运动空间、控制 论的状态空间、模式识别的特征空间等，都是性状 空间。它们都可作为因素空间的特例，因素空间是 笛卡尔空间的推广。如图 1 所示，任何事物都可以 像张三这样地被映射成为性状空间中的一个点，因 素空间为一般事物的描述提供了普适性的数学框 架。一群对象被映射成为性状空间中的样本点集。 要对这群对象分类，就必须将它们投射到因素性状 空间中来进行分割。 ݗᕓ 䏗倄 Ꭰ咰 喋ᑌ̵喌 ⩣ ѿ䛹 1.75 25 66 图 1 张三被映射为因素空间中的一个点 Fig. 1 Mapping Zhang San mapped to a point in the factor space 1.2 背景关系与背景分布 ϕ = (U,XF∗) a = (a1,a2,··· ,an) ∈ X 定 义 5 [ 4 ] 给 定 U 上的定性因素空间 ，对任意 ，记其 在 U 上的原相为 [a] = F −1 (a) = {u ∈ U |F (u) = a} (3) [a] 可能是空集 ϕ ，若 [a] , ϕ ，则称 a 是一个实性 状颗粒，否则称 a 是一个虚组态。全体实性状的集 合记为 R = F (U) = {a = (a1,a2,··· ,an) ∈ X|∃u ∈ U; f1 (u) = a1,a2,··· , fn (u) = an} (4) 第 1 期 汪培庄：因素空间理论——机制主义人工智能理论的数学基础 ·39·