因为{xn}是有界数列,应用 bolzano- Weierstrass定理,存在收敛子列 imx=ξ,且 ∈[a,b] k→"k 考虑不等式 a≤f(xn)<a+-,k=1,2,3,…, 令→∞,由极限的夹逼性与f(x)在点2的连续性,得到 f()=a 这说明f(x)在上取到最小值a,即a=minR。 同样可以证明存在n∈[b,使得f(m)=B=maxR。 证毕因为{ xn }是有界数列，应用Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列 { xnk }： lim k→∞ xnk =ξ ，且ξ ∈ ba ],[ 。 考虑不等式 α ( ) k n ≤ f x < α + 1nk ， k = 1,2,3，…， 令k→∞，由极限的夹逼性与 f x( ) 在点 ξ 的连续性，得到 f ( ) ξ =α 。 这说明 f x( ) 在 ba ],[ 上取到最小值α，即α min = Rf 。 同样可以证明存在η ∈[,] a b ，使得 f η)( = β = max Rf 。 证毕