c=Lni 4+-1)=ln|-1|+ng(-1)+2kr]=ir(1+2k)k=0,±,±2 (4)由于sinz=-cos e2+1) l-1 n(i)=In||+ifarg(-i)+ 2kr) 2i(2 13.证明 (2)sin2+cos==1:(3) sin 2-=2sin =cos::(4) 2 tan= (5) :=cos:, cos(=+r)=-cos:: (6) cos:=cos2x+shy sin =p=sin x+sh2 y 证(1)左=0+=)=4*)+e e-t 2 e(+2)+e(-2)+ei(n-2)+e-(+2)+e(+2)-e(-2)-e-(a-=2)+e-i(+2 可见左=右,即cos(=1+z2)=cos=1cosz2-sinz1sinz2 sin(z,+ 可见左=右,即sin(=1+z2)= SIn z cos22+ COS=, SInz2 (2)6 z = Ln(−1) = ln | −1| +i[arg(−1)+ 2kπ ] = iπ (1+ 2k ) k = 0,±1,±2," （4）由于 ( ) i i 1 i i sin cos , 2i 2 z z e e z z z z ee − − − =− =− + ，故 1 i( 1) 2i 2i − = − + z z e e 1 i 1 i 2i + − =z e z ( ) [ ] ln | i | i( ) arg( )i 2kπ 2i 1 Ln i 2i 1 1 i 1 i Ln 2i 1 ⎟ = − = − + − + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = , 0, 1, 2," 4 1 2 2i 2 i ⎟ = ± ± ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + kπ k π k π 13．证明： （1） ( ) 1 2 1 2 1 2 cos z + z = cosz cosz − sin z sin z ; ( ) 1 2 1 2 1 2 sin z + z = sin z cosz − cosz sin z ; （2）sin cos 1 2 2 z + z = ；（3）sin 2z = 2sin z cosz ；（4） z z z 2 1 tan 2tan tan 2 − = ； （5） z cosz 2 sin ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π ， cos( ) z +π = −cosz ； （6） 2 2 2 22 2 | cos | cos sh ,| sin | sin sh z x yz x y = + =+ 证 （1）左 ( ) () () [ ] 1 2 1 2 2 1 cos 1 2 i z z i z z z z e e + − + = + = + 右= 1 2 1 2 cosz cosz −sin z sin z 2 2 2i 2i 1 1 2 2 1 1 2 2 iz iz iz iz iz iz iz iz e e e e e e e e − − − − − − − + + = () () () ( ) ( ) ( ) ( ) () 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 i z z i z z i z z i z z i z z i z z i z z i z z e e e e e e e e + − − − − + + − − − − + + + + + − − + = = () () 2 1 2 1 2 i z z i z z e e + − + + 可见左=右，即 ( ) 1 2 1 2 1 2 cos z + z = cosz cosz − sin z sin z ； 左= ( ) () () [ ] 1 2 1 2 i i 1 2 2i 1 sin z z z z z z e e + − + + = − 右 1 2 1 2 = sin z cosz + cosz sin z ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 i i i i i i i i 2i 1 2 1 2 1 2i 1 z z z z z z z z e e e e e e e e − − − − = − − + + − () () () () [ ] 1 2 1 2 1 2 1 2 i i i i 4i 1 z z z z z z z z e e e e + − − − − + = + − − ()() () () [ ] 1 2 1 2 1 2 1 2 i i i i 4i 1 z z z z z z z z e e e e + − − − − + + − + − = () () [ ] 1 2 1 2 i i 2 2 4i 1 z z z z e e + − + − 2i 1 = ( ) ( ) [ ] 1 2 1 2 i z z i z z e e + − + − 可见左=右，即 ( ) 1 2 1 2 1 2 sin z + z = sin z cosz + cosz sin z （2） 2 i i 2 i i 2 2 2i 2i sin cos ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = z − z z − z e e e e z z