利用全概率公式得 P(B)=∑P(4P(BA)=P4)PB4)+P(4)P(84)+P(4P(B4) 2500 000 1500 5%+ 3%+ 1%=3.3% 6000 6000 定理3贝叶斯公式( Bayes)(逆全概率公式):设A1,A2,,AL是g的一个完备事件 组,且P(A1)>0(=12,n)。若对任一事件B,P(B>0, 则有:P(A/B) P(A)P(B/A) =1,2 ∑P(A)P(B/A) P(A B) P(A)P(BA) 证明:由条件概率公式P(A|B)= =1.2.…,n P(B)∑P(A)P(BA) 例6:某机器由A、B、C三类元件构成,其所占比例分别为0.1,0.4,0.5,且其 发生故障的概率分别为0.7,0.1,0.2。现机器发生了故障,问应从哪个元件开始检查? 解:设D‘发生故障’;A‘元件是A类’;B‘元件是B类’;C‘元件是C类 P(D)=P(AP(D/A)+P(B)P(D/B)+P(C)P(D/C) 0.1×0.7+04×0.1+0.5×0.2=0.21 所以PAD=P(AD/P(D)=721;P(B/D)=421;P(C/D)=10/21, 故应从C元件开始检查。 例7:医学上用某方法检验“非典”患者,临床表现为发热、干咳,已知人群中既 发热又干咳的病人患“非典”的概率为5%;仅发热的病人患“非典”的概率为3% 仅干咳的病人患“非典”的概率为1%;无上述现象而被确诊为“非典”患者的概率 为0.01%;现对某疫区25000人进行检查,其中既发热又干咳的病人为250人,仅发 热的病人为500人,仅干咳的病人为1000人,试求 (1)该疫区中某人患“非典”的概率; (2)被确诊为“非典”患者是仅发热的病人的概率 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率17概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 17 利用全概率公式得 = = = + + 3 1 1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i P B P Ai P B Ai P A P B A P A P B A P A P B A 1% 3.3% 6000 1500 3% 6000 2000 5% 6000 2500 =  +  +  = 定理 3 贝叶斯公式（Bayes）（逆全概率公式）：设 A A An , ,.., 1 2 是  的一个完备事件 组，且 P(Ai )  0 （i=1,2,…,n）。若对任一事件 B，P(B)>0， 则有： = = n i i i j j j P A P B A P A P B A P A B 1 ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( / ) j=1,2，…，n 证明：由条件概率公式 j n P A P B A P A P B A P B P A B P A B n i i i j j j j 1,2. , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = = =  = 例 6：某机器由 A、B、C 三类元件构成，其所占比例分别为 0.1，0.4，0.5，且其 发生故障的概率分别为 0.7，0.1，0.2。现机器发生了故障，问应从哪个元件开始检查？ 解：设 D‘发生故障’；A‘元件是 A 类’；B‘元件是 B 类’；C‘元件是 C 类’ 则 P(D) = P(A)P(D / A) + P(B)P(D / B) + P(C)P(D /C) = 0.10.7 + 0.40.1+ 0.50.2 = 0.21 所以 P(A/D)= P(AD) P(D) =7/21；P(B/D)=4/21；P(C/D)=10/21， 故应从 C 元件开始检查。 例 7：医学上用某方法检验“非典”患者，临床表现为发热、干咳，已知人群中既 发热又干咳的病人患“非典”的概率为 5%；仅发热的病人患“非典”的概率为 3%； 仅干咳的病人患“非典”的概率为 1%；无上述现象而被确诊为“非典”患者的概率 为 0.01%；现对某疫区 25000 人进行检查，其中既发热又干咳的病人为 250 人，仅发 热的病人为 500 人，仅干咳的病人为 1000 人，试求： (1)该疫区中某人患“非典”的概率； (2)被确诊为“非典”患者是仅发热的病人的概率