偏好和效用 凹函数:定义在RM上的函数称为凹的,如果对于 x,y∈RM(xy)和te(,1),f(1-t)x+ty)≥(1-f(x)+f(y); 如果上面的不等式是严格不等式,则称严格凹的。 注意:(严格)凹函数是(严格)拟凹函数,但反过 来一般不成立。 函数凹性的判定定理:假设函数RM上有二次连续 偏导数,那么(1)如果在RM上为凹函数,则在RM+ 上它的Hesi矩阵的所有先导主子式H满足1H≥0。 (2)如果在RM4上f的 Hessian矩阵的所有先导主子式H 满足 (-1)H>0那么f在RM上严格凹 Hessian矩阵的定义见下一幻灯片。偏好和效用 • 凹函数：定义在RM +上的函数f称为凹的，如果对于 x,y RM + (x≠y) 和t(0, 1)，f((1-t)x+ty)(1-t)f(x)+tf(y)； 如果上面的不等式是严格不等式，则称f是严格凹的。 • 注意：（严格）凹函数是（严格）拟凹函数，但反过 来一般不成立。 • 函数凹性的判定定理：假设函数f在RM ++上有二次连续 偏导数，那么(1)如果f在RM ++上为凹函数，则在RM ++ 上它的Hessian矩阵的所有先导主子式Hr满足(-1)rHr0。 (2)如果在RM ++上f的Hessian矩阵的所有先导主子式Hr 满足 (-1)rHr>0那么f在RM ++上严格凹。 • Hessian矩阵的定义见下一幻灯片