第6期 张晓丹等：基于样条函数的光滑支持向量机模型 ·721· 4 2 Mc+M,(卡-x小， 3 13 1 k+x+28 -≤x<0: S3(x,k)= 对该式逐次积分，有 6些学小 6,3k26+3kx55B4+ 72 4 +2x 3 .13 x+2+287 0≤r≤ s(a)++4 2.2样条光滑函数的性质分析 3!+2+6x+6= 前面已经说明通过广义三弯矩法可以求出三次 层-小 样条光滑函数，并且构造了满足三阶光滑条件的五 次样条函数和满足四阶光滑条件的七次样条函数. 根据点（信）处的光滑条件，可以求得 那么，满足定义1条件的二阶光滑、三阶光滑和四阶 光滑的样条函数是不是唯一存在的？这个问题对研 6费-04 2M2 究样条光滑函数的进一步推广是十分重要的，本节 3=31 重点讨论这个问题 M, 3M2 M, 4M2 6-0-1--=0= 定理2 在区间[-名]上，选取(~名 这样，就得出了带有参数M。、M,和M2的五次样条 光滑函数 0小0，)和（会）为插值点，其中%为y轴正 再应用点(0，y)处的光滑条件，可得出如下矩 半轴上某一点，k>1,满足二阶光滑条件的三次样条 阵方程： 函数是唯一存在的. 「1 0 1 证明采用反证法 M 8K3 12k3 8k3 假设在区间[-太]上存在另一个三次样 1 2k 2k 条函数，是以(-冬0）、(0)和()为插值 方程系数矩阵的行列式不为0，因此，此矩阵方程有 点、且对正号函数的逼近满足二阶光滑条件 唯一解最后，可求得具有三阶光滑的五次样条函 数的形式为 设力=neR.显然，满足二阶光滑条件的 1 3 三次样条函数，必然满足三次样条插值函数的自然 10 4x+ 2x+2x+ 20k 1 边界条件.设点(-0）、0，)和（片）处的 -F≤x<0; S2(x,k)= 二阶导数值为S”(x)=M(i=0,1,2).其中，x1= k 4 x+ 1 3 +2+20k 1 2 斤=0，名=下 0≤x≤下 1 根据求解带有自然边界条件的三次样条插值函 (3)m=4时.在定义1的基础上，加上两个边 数的三弯矩法，得M。=0,M2=0.2M1=d1 界点的五阶光滑条件，采用广义三弯矩法.设函数 d=6时o]=3k1-月） S(x)为满足四阶光滑条件的七次样条函数.以 则 s(在点(-0)小0)和()处的六阶 M=2(1-是) 导数值S6(x:)=M:(i=0,1,2)为未知量表示 S(x),并通过点(0，y1)处的光滑条件，可以证明存 在如下形式的满足四阶光滑条件(m=4)的七次样 条光滑函数：第 6 期 张晓丹等: 基于样条函数的光滑支持向量机模型 S( 4) 1 ( x) = M1 ( x2 － x) h1 + M2 ( x － x1 ) h2 = M2 kx + M1 ( k 1 k － ) x ， 对该式逐次积分，有 S1 ( x) + b1 = M2 kx 2 2 － M1 k ( 2 1 k － ) x 2 ，  S1 ( x) + b1 x 3 3! + b2 x 2 2 + b3 x + b4 = M2 k 5 5! + M1 k 5 ( ! 1 k － ) x 5 ． 根据点 ( 1 k ，1 ) k 处的光滑条件，可以求得 b1 = M2 2k = 1 × M2 2! k ，b2 = － M2 3k 2 = － 2M2 3! k 2， b3 = M2 8k 3 － 1 = － 3M2 4! k 3 － 1，b4 = － M2 30k 4 = － 4M2 5! k 2 ． 这样，就得出了带有参数 M0、M1 和 M2 的五次样条 光滑函数． 再应用点( 0，y1 ) 处的光滑条件，可得出如下矩 阵方程: 1 0 1 1 8k 3 － 1 12k 3 － 1 8k 3 1 2k 1 k － 1 2              k  M0 M1 M          2  = 0 － 1        0  ． 方程系数矩阵的行列式不为 0，因此，此矩阵方程有 唯一解． 最后，可求得具有三阶光滑的五次样条函 数的形式为 S2 ( x，k) = － k 4 10 x 5 － k 3 4 x 4 + k 2 x 2 + 1 2 x + 3 20k ， － 1 k ≤x ＜ 0; k 4 10 x 5 － k 3 4 x 4 + k 2 x 2 + 1 2 x + 3 20k ， 0≤x≤ 1 k            ． ( 3) m = 4 时． 在定义 1 的基础上，加上两个边 界点的五阶光滑条件，采用广义三弯矩法． 设函数 S( x) 为满足四阶光滑条件的七次样条函数． 以 S( x) 在点 ( － 1 k ， ) 0 、( 0，y1 ) 和 ( 1 k ，1 ) k 处的六阶 导数值 S( 6) ( xi ) = Mi ( i = 0，1，2 ) 为 未 知 量 表 示 S( x) ，并通过点( 0，y1 ) 处的光滑条件，可以证明存 在如下形式的满足四阶光滑条件( m = 4) 的七次样 条光滑函数: S3 ( x，k) = － k 6 7 x 7 － 3k 5 4 x 6 － 3k 4 2 x 5 － 5k 3 4 x 4 + 3 4 kx 2 + 1 2 x + 3 28k ， － 1 k ≤x ＜ 0; k 6 7 x 7 － 3k 5 4 x 6 + 3k 4 2 x 5 － 5k 3 4 x 4 + 3 4 kx 2 + 1 2 x + 3 28k ， 0≤x≤ 1 k            ． 2. 2 样条光滑函数的性质分析 前面已经说明通过广义三弯矩法可以求出三次 样条光滑函数，并且构造了满足三阶光滑条件的五 次样条函数和满足四阶光滑条件的七次样条函数． 那么，满足定义 1 条件的二阶光滑、三阶光滑和四阶 光滑的样条函数是不是唯一存在的? 这个问题对研 究样条光滑函数的进一步推广是十分重要的，本节 重点讨论这个问题． 定理 2 在区间 [ － 1 k ，1 ] k 上，选取 ( － 1 k ， 0 ) 、( 0，y1 ) 和 ( 1 k ，1 ) k 为插值点，其中 y1 为 y 轴正 半轴上某一点，k ＞ 1，满足二阶光滑条件的三次样条 函数是唯一存在的． 证明 采用反证法． 假设在区间 [ － 1 k ，1 ] k 上存在另一个三次样 条函数，是以 ( － 1 k ，0 ) 、( 0，y1 ) 和 ( 1 k ，1 ) k 为插值 点、且对正号函数的逼近满足二阶光滑条件． 设 y1 = 1 nk ，n∈R + ． 显然，满足二阶光滑条件的 三次样条函数，必然满足三次样条插值函数的自然 边界条件． 设点 ( － 1 k ，0 ) 、( 0，y1 ) 和 ( 1 k ，1 ) k 处的 二阶导数值为 S″( xi ) = Mi ( i = 0，1，2) ． 其中，x1 = － 1 k ，x2 = 0，x3 = 1 k ． 根据求解带有自然边界条件的三次样条插值函 数的三弯矩法，得 M0 = 0，M2 = 0． 2M1 = d1 ． d1 = 6f［x0，x1，x2］= 3 ( k 1 － 2 ) n ， 则 M1 = 3 2 ( k 1 － 2 ) n ． S0 ( x) = 3 2 ( k 1 － 2 ) ( n x + 1 ) k 3 6 k + ·721·