Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 除在上半平面有奇点z=i外, 在实轴上还有两个单阶极点z=0 取积分路线如图 ==[+++.+,+.]:=2xyO 2 取三个极限R→∞,→0,F2→>0 因为如+=+02=0,由引理1 0 (二+1)(=2+1 又因为Resf(0)=limz (=+)(2+=1 Resf(l=lim(=+l) 所以,由引理2(小圆弧引 (=+1)(=2+1)2 理), (+1)(=2+1) =1Resf(-1)·(-)= =i·Resf()·(-x)=-i.因此, e:=(z+1)(=2 1=如m[++])=如m-m(地 (1-1)-0 2-(-m)=~x 附]柯西积分主值( Cauchy principal value) 通常的定积分(Rimn积分)∫/(xd有两个基本假设:积分区间小是 有界的,同时函数f(x)在b]上也是有界的。反之,如果积分区间无界或f(x) 有奇异性,则这种积分属于反常积分,这时积分就有一般值和主值之分。例如, 按广义积分定义,双边无界积分 f(x)dx= lim.f(x)dx+lim[f(x)Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 14 [解] ( 1)( 1) 1 ( ) 2 + + = z z z f z 除在上半平面有奇点 z = i 外， 在实轴上还有两个单阶极点 z = 0 和 z = −1. 取积分路线如图，有 ( ) 1 1 2 2 3 ( )d ( )d = 2 Res ( ) 1 2 1 . ( 1)( ) 2 C l C l C l CR f z z f z z i f i i i i i i i i      = + + + + +      =  = − − + +        又 取三个极限 R →，r1 → 0,r2 → 0， 因为 ( )( ) 0 1 1 1 lim 2 = + +  → z z z z z ，由引理 1， ( ) 0 ( 1) 1 d 2 = + + CR z z z z . 又因为 ( )( ) 2 0 1 Res (0) lim 1, 1 1 z f z → z z z =  = + + ( )( ) 2 1 1 1 Res ( 1) lim( 1) . z 1 1 2 f z → − z z z − = +  = − + + 所以，由引理 2 (小圆弧引 理)， ( ) 1 2 d Res ( 1) ( ) C ( 1) 1 2 z i i f z z z  =  −  − =  + +  ， ( ) 2 2 d Re (0) ( ) ( 1) 1 C z i sf i z z z =   − = −   + +  . 因此， 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 , 0 , 0 lim ( )d [ lim lim lim lim ] ( )d (1 ) 0 ( ) . 2 2 2 R R R R r r l l l C C C C r r r r I f z z f z z i i i i     → → → → → → →   = + + = − − −     = − − − − − − = −        [附] 柯西积分主值(Cauchy principal value)： 通常的定积分（Riemann 积分）  b a f (x)dx 有两个基本假设：积分区间 a,b 是 有界的，同时函数 f (x) 在 a,b 上也是有界的。反之，如果积分区间无界或 f (x) 有奇异性，则这种积分属于反常积分，这时积分就有一般值和主值之分。例如， 按广义积分定义，双边无界积分    → − →  − = + 2 2 0 0 1 1 ( )d lim ( )d lim ( )d R R x x R R f x x f x x f x x