Bnc B,(g, x) 对一切x∈[a,b]成立; (3)Bn(1,x)=∑Cx(1-x)”=[x+(1-x)”=1 Bn(,x)=∑二Cx2(-x)=x∑Cx(1-x) [x+(1-x) x Bn(2,x)=∑Cx2(1-x)k= kck-1x2(1-x)”k k-1 C1x(1-x) Cm=2x2(1-x)y-k+∑Cx( n-1 综合上述三式,考虑函数(1-s)2在Bn映射下的像,注意s在这里被视为常 数,我们得到 B1(-s)2,x)=Bn(r,x)-2sBn(t,x)+s2B1(1,x) 现在我们来证明定理。 由于函数∫在[0,1连续,所以必定有界,即存在M>0,对于一切t∈[0,1 成立 lf()|≤M; 而根据 Cantor定理,∫在[O,1一致连续,于是对任意给定的ε>0,存在δ>0, 对一切t,s∈[0,1], 当|t-s|<δ时,成立 1f(0-f(s)|<E 当|t-s|≥δ时,成立 1f(1)-f(s)|≤2M≤--(t-s) 也就是说,对一切,s∈[0,1,成立 2M 26 (S 考虑上式的左端,中间,右端三式(关于的连续函数)在映射Bn作用下的像 (关于x的多项式),注意f(s)在这里被视为常数,即Bn((s),x)=f(s),并根据上面 性质(1),(2)与(3),得到对一切x,s∈[0,1,成立 E 2M x-x2 +(x-s)2]≤Bn(, f()≤+2M1x-x+(x-9)], 令s=x,且注意x(1-x)≤,即得则 BB n (f , x) ≥ Bn B (g, x) 对一切 x∈[a, b]成立； (3) BB n (1, x) = ∑ = [x + (1- x)] = 1； = − − n k kk kn n xx 0 )1(C n BB n (t, x) = ∑= − − n k kk kn n xx n k 0 )1(C = x∑= −− − − − n k kk kn n xx 1 11 1 )1(C = x [x + (1- x)] n-1 = x； BB n (t , x) = 2 ∑= − − n k kk kn n xx n k 0 2 2 )1(C = ∑= − − − − n k kk kn n xx n k 1 1 1 )1(C = ∑= − − − − − n k kk kn n xx n k 2 1 1 )1(C1 + ∑= − − − − n k kk kn n xx 1 n 1 1 )1(C1 = ∑= −− − − − − n k kk kn n xxx n n 2 22 2 2 )1(C 1 + ∑= −− − − − n k kk kn n xx n x 1 11 1 )1(C = 1 2 x n n − + n x = + 2 x n xx 2 − 。 综合上述三式，考虑函数 (t - s) 2 在BB n 映射下的像，注意s在这里被视为常 数，我们得到 BB n ((t - s) , x) = Bn 2 B (t 2 , x) - 2sBn (t, x) + s 2 BB n (1, x) = x 2 + n xx 2 − - 2 sx + s 2 = n xx 2 − + (x - s) 2 。 现在我们来证明定理。 由于函数 f 在[0, 1]连续，所以必定有界，即存在 M＞0，对于一切 t ∈[0, 1] ， 成立 ｜f (t)｜≤M； 而根据 Cantor 定理，f 在[0, 1]一致连续，于是对任意给定的ε＞0，存在δ＞0， 对一切 t, s ∈[0, 1]， 当｜t - s｜＜δ时，成立 ｜f (t) - f (s)｜＜ 2 ε ; 当｜t - s｜≥δ时，成立 ｜f (t) - f (s)｜≤2M ≤ 2 2 δ M (t - s) 2 。 也就是说，对一切 t, s ∈[0, 1], 成立 - 2 ε - 2 2 δ M (t - s) 2 ≤ f (t) - f (s) ≤ 2 ε + 2 2 δ M (t - s) 2 。 考虑上式的左端，中间，右端三式(关于t的连续函数)在映射BB n 作用下的像 (关于x的多项式)，注意f (s)在这里被视为常数，即Bn B (f (s), x) = f (s)，并根据上面 性质(1)，(2)与(3)，得到对一切x, s ∈[0, 1]，成立 - 2 ε - 2 2 δ M [ n xx 2 − + (x - s) 2 ] ≤BB n (f , x) - f (s) ≤ 2 ε + 2 2 δ M [ n xx 2 − + (x - s) 2 ]， 令 s = x，且注意 x(1 - x)≤ 4 1 , 即得