[a2,b21使有[a1,1的性质……于是得区间套{[an,b21),有公共点5.易 见在点5的任何邻域内有数 列(不)的无穷多项而在其外仅含有(的有限项,→lmxn 例5用“确界原理”证明“区间套定理” 证[an,b2])为区间套.先证每个am为数列{b)的下界,而每个bm 为数列的上界.由确(an)界原 理,数列{an)有上确界,数列{b)有下确界 设 a= inf(s),A=p(a2).易见有 a,sasb和 ≤A≤bn 由h-an→0,(n→),→a=8 例6用“有限复盖定理”证明“聚点原理” 证(用反证法)设S为有界无限点集,Sc[a,b1.反设[a,b]的 每一点都不是的聚点,则对 vx∈[a,b],存在开区间(a,A),使在(a,A)内仅有S的有限个 点 例7用“确界原理”证明“聚点原理” 证设S为有界无限点集.构造数集E=(xE中大于x的点有无穷 多个 易见数集E非空有上界,由确界原理,E有上确界.设=B.则对 ve>0,由-E不是E的上界 E中大于-E的点有无穷多个;由A+E是E的上界,→E中大于 E的点仅有有限个.于是,在 (6-e,A+E)内有B的无穷多个点,即是E的一个聚点使有 的性质.…….于是得区间套 ,有公共点 . 易 见在点 的任何邻域内有数 列 的无穷多项而在其外仅含有 的有限项, . 例 5 用“确界原理”证明“区间套定理”. 证 为区间套. 先证每个 为数列 的下界, 而每个 为数列的上界. 由确 界原 理 , 数列 有上确界, 数列 有下确界 . 设 , .易见有 和 . 由 ， . 例 6 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”. 证 ( 用反证法 ) 设 为有界无限点集, . 反设 的 每一点都不是 的聚点, 则对 , 存在开区间 , 使在 内仅有 的有限个 点. …… . 例 7 用“确界原理”证明“聚点原理”. 证 设 为有界无限点集. 构造数集 中大于 的点有无穷 多个 . 易见数集 非空有上界, 由确界原理, 有上确界. 设 . 则对 ,由 不是 的上界 中大于 的点有无穷多个; 由 是 的上界, 中大于 的点仅有有限个. 于是, 在 内有 的无穷多个点,即 是 的一个聚点