数极限的迫敛性来证明lm1+ 为此需要定义两个阶梯函数: f(x)=/1+、1 n+1),n≤x<qn+1, N n≤x<n+1 其中∫(x)递增有上界,g(x)递减有下界,lim∫(x)=img(x)=e.于是由 f(x)=11+|<g(x) 令x→∞,根据函数极限的迫敛性,证得 注若不用迫敛性,也可用E一N与e-M的方法由lm1+ e证得 这证明就留给读者 §5无穷小量与无穷大量 问题1在本节教材例2中求极限 tanx-sn x sIn 时,为何用等价无穷小量代换 x,tanx~x会引出错误的结果? 答由定理32可知,在求极限时,只有对极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来 替代.而在极限式的和、差运算中的应用等价无穷小量代换时,经常会丢失高阶无穷小量,而引起 错误的结果 今后在微分学中由泰勒公式可知 x2+o(x3) SInx=x o(x3) 这里o(x3)是比x3高阶的无穷小量,于是数极限的迫敛性来证明 e x x x  =      + →+ 1 lim 1 . 为此需要定义两个阶梯函数： n n f x       + = + 1 1 ( ) 1 ，n≤x<n+1， n  N+ 1 1 ( ) 1 +       = + n n g x ，n≤x<n+1， 其中 f (x) 递增有上界， g(x) 递减有下界， f x g x e x x = = →+ →+ lim ( ) lim ( ) . 于是由 ( ) 1 ( ) 1 g x x f x x        = + ， 令 x→∞，根据函数极限的迫敛性，证得 e x x x  =      + →+ 1 lim 1 . 注 若不用迫敛性，也可用ε—N 与ε—M 的方法由  =      + + → 1 1 lim 1 n x n e n n x  =      + + → 1 1 lim 1 证得 e x x x  =      + →+ 1 lim 1 ，这证明就留给读者. §5 无穷小量与无穷大量 问题 1 在本节教材例 2 中求极限 3 0 sin tan sin lim x x x x − → 时，为何用等价无穷小量代换 sin x ~ x ， tan x ~ x 会引出错误的结果？ 答 由定理 3.12 可知，在求极限时，只有对极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来 替代. 而在极限式的和、差运算中的应用等价无穷小量代换时，经常会丢失高阶无穷小量，而引起 错误的结果. 今后在微分学中由泰勒公式可知 ( ) 3 1 tan 3 3 x = x + x + o x ， ( ) 6 1 sin 3 3 x = x − x + o x ， 这里 ( ) 3 o x 是比 3 x 高阶的无穷小量，于是