数学悖论与三次数学危机 “…古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。” 一一N·布尔巴基 什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果 却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它 的真，可以推出它为假：由它的假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是 因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀 。如 哭这作论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还 引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机 的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学 危机。 希帕素斯悖论与第一次数学危机 希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈 起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几 何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同 时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作 《周雕算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理 的证明却是较迟的事情。 直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证 明。 在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般 称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若 狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百 牛定理” 华达哥拉斯 毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了 个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉数学悖论与三次数学危机 “ „ „ 古 往 今 来 ， 为 数 众 多 的 悖 论 为 逻 辑 思 想 的 发 展 提 供 了 食 粮 。” ——N·布尔巴基 什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果 却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它 的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是 数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如 果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会 引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机” 的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学 危机。 希帕索斯悖论与第一次数学危机 希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈 起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几 何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同 时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作 《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理 的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证 明。 在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般 称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若 狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百 牛定理”。 毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一 个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉