定义设L是一个非空集合,在L上定义了两个代数运算,一个叫加法,记为a+b, 个叫乘法,记为ab。如果具有性质 (1)、L关于加法成为一个交换群 (2)、乘法满足结合律,即 va,b,c∈L,有a(bc)=(ab)c; (3)、乘法关于加法满足分配律,即Va,b,c∈L,有 a(b+c)=ab+ac 那么L就称为一个环。 命题数域K上的n阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群,称为K上的一般线性 群,记为GLn(K):数域K上的n阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环,称为K上的 全矩阵环,记为Mn(K) 证明按定义逐项验证即可。其中GL,(K)中乘法的单位元是n阶单位矩阵,而Mn(K) 中加法的单位元是n阶零方阵 命题(AB)=BA 证明BA(AB)=E,由逆矩阵的唯一性可知,命题成立。 命题假设n阶可逆方阵A的逆矩阵是B,则B'是A的逆矩阵 证明只需要证明B'A'=A'B'=E即可 事实上, AB)=E=E A"B'=(BA)'=E'=E 于是命题得证。 命题矩阵可逆当且仅当满秩 证明必要性若n阶方阵A可逆,则存在n阶方阵B,使得BA=E,于是有 n=r(BA)≤r(A)≤n,于是r(A)=n; 充分性若n阶方阵满秩,则A可以表为初等矩阵的乘积,即存在初等矩阵B1,P,…,Pn, 使得A=PP2…Pn。只需要证明初等矩阵是可逆的。事实上,P(k·1)P(·1)=E P(k·i,j)P(-ki,j)=E:P(G,j)PG,j=E,所以由命题x=PP1…P。证 253用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵,矩阵方程AX=B和XA=B的解法(A为可逆 阵定义 设 L 是一个非空集合，在 L 上定义了两个代数运算，一个叫加法，记为 a+b，一 个叫乘法，记为 ab。如果具有性质： （1）、L 关于加法成为一个交换群； （2）、乘法满足结合律，即   a b c L , , ，有 a bc ab c ( ) ( ) = ； （3）、乘法关于加法满足分配律，即   a b c L , , ，有 ( ) , ( ) . a b c ab ac b c a ba ca + = + + = + 那么 L 就称为一个环。 命题 数域 K 上的 n 阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群，称为 K 上的一般线性 群，记为 GL (K) n ；数域 K 上的 n 阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环，称为 K 上的 全矩阵环，记为 M (K) n ； 证明 按定义逐项验证即可。其中 GL (K) n 中乘法的单位元是 n 阶单位矩阵，而 M (K) n 中加法的单位元是 n 阶零方阵。 命题 1 1 1 ( ) AB B A − − − = 证明 1 1 B A AB E ( ) − − = ，由逆矩阵的唯一性可知，命题成立。 命题 假设 n 阶可逆方阵 A 的逆矩阵是 B，则 B ' 是 A' 的逆矩阵。 证明 只需要证明 B A A B E ' ' ' ' = = 即可。 事实上， ' ' ( )' ' ' ' ( )' ' B A AB E E A B BA E E = = = = = = ， 于是命题得证。 命题 矩阵可逆当且仅当满秩； 证明 必要性 若 n 阶方阵 A 可逆，则存在 n 阶方阵 B，使得 BA E = ，于是有 n r BA r A n =   ( ) ( ) ，于是 r A n ( ) = ； 充分性 若n阶方阵满秩，则A可以表为初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵 1 2 , , , P P P n ， 使得 A PP P = 1 2 n 。只需要证明初等矩阵是可逆的。事实上， 1 P k i P i E ( ) ( ) k • • = ； P k i j P k i j E ( , ) ( , ) • − • = ； P i j P i j E ( , ) ( , ) = ，所以由命题 1 1 1 1 A P P P n n 1 1 − − − − = − 。证 毕。 2.5.3 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，矩阵方程 AX = B 和 XA = B 的解法（ A 为可逆 阵）