第4讲完备性与纲定理 教学目的:掌摄完备空间的概念,完备空间的基本性质并认识完备 性在分析中的重要意义。 授课要点: 1、完备性的定义和常见空间的完备性。 2、完备空间的基本性质。 纲的概念及初步应用。 完备化定理:任何度量空间都可以完备化 在实数理论中我们知道著名的 Cauchy准则,即实数序列是收敛的当且仅当它是满足 Cauchy条件的.当我们把视线从实数域转到一般的度量空间时我们会提出类似的问题,度 量空间也有序列的收敛概念,那么是否也有相应的 Cauchy准则呢?实际上只须看一下有理 数域Q的情况,其中的 Cauchy序列不一定都收敛于Q中的元,所以 Cauchy准则对于Q并 不成立.造成这一现象的原因并不是序列的分析性质不好,而在于空间中的点“不够多”, 以至于存在“孔洞 定义1设(X,d)是度量空间,xn∈X,n≥1 (1)若limd(xn,xn)=0,称{xn}为 Cauchy序列 (2)若X中的每个 Cauchy序列{xn}是收敛序列,即彐x∈X,使得limd(xn,x)=0, 则称X是完备的 由三角不等式容易得出每个收敛序列一定是 Cauchy序列,反之却未必 完备的线性赋范空间称为 Banach空间,完备的内积空间称为 Hilbert空间. 例1空间Pa,b]不完备 Pa,b]是区间[a,b上实(或复)系数多项式的全体.对于每个p∈Pa,b],定义 ‖p| maxp() 由定义可直接验证,P[a,b]是线性赋范空间,但Pa,b不是完备的.例如取 Pn()=1+第 4 讲 完备性与纲定理 教学目的：掌握完备空间的概念，完备空间的基本性质并认识完备 性在分析中的重要意义。 授课要点： 1、 完备性的定义和常见空间的完备性。 2、 完备空间的基本性质。 3、 纲的概念及初步应用。 4、 完备化定理：任何度量空间都可以完备化。 在实数理论中我们知道著名的 Cauchy 准则，即实数序列是收敛的当且仅当它是满足 Cauchy 条件的．当我们把视线从实数域转到一般的度量空间时我们会提出类似的问题．度 量空间也有序列的收敛概念，那么是否也有相应的 Cauchy 准则呢? 实际上只须看一下有理 数域Q 的情况，其中的 Cauchy 序列不一定都收敛于Q 中的元，所以 Cauchy 准则对于Q 并 不成立．造成这一现象的原因并不是序列的分析性质不好，而在于空间中的点“不够多”， 以至于存在“孔洞”． 定义 1 设(X ,d) 是度量空间， xn ∈ X ， n ≥1． （1）若 lim ( , ) 0 , = →∞ m n m n d x x ，称{ }n x 为 Cauchy 序列． （2）若 X 中的每个 Cauchy 序列{ }n x 是收敛序列，即∃x∈ X ，使得lim ( , ) = 0 →∞ d x x n n ， 则称 X 是完备的． 由三角不等式容易得出每个收敛序列一定是 Cauchy 序列，反之却未必． 完备的线性赋范空间称为 Banach 空间，完备的内积空间称为 Hilbert 空间． 例 1 空间 P[a,b]不完备． P[a,b]是区间[a,b]上实（或复）系数多项式的全体．对于每个 p∈ P[a,b]，定义 || p || max | p(t) | a≤t≤b = ． 由定义可直接验证， P[a,b]是线性赋范空间，但 P[a,b]不是完备的．例如取 1! ! ( ) 1 n t t p t n n = + +"+