证明先设supf=M<+,令 A={-Ms/s、4 },B={≤∫≤M} 则A,B是两个闭集并且A∩B=⑧.由引理3,存在R”上的连续函数g1,使得 M g1 并且 M g(x)≤n,x∈R f(x)-g;(x≤;M,x 对函数∫-g1应用引理3,注意此时|-g1的上界是M.因此存在R”上的一个连续 函数g2,使得 g2(x)≤M,x∈ (x)-g1(x)-g2|≤2M x∈F 这样一直作下去,得到R”上的一列连续函数{8k},使得 M,x∈Rn,k=1,2, -∑8( F 由(知道级数∑g(x)在R”上一致收敛记其和为g(x,则g(x)是R上的连续函数 而(5)表明在F上g(x)=f(x)并且 g(x)s∑g4x) M.x∈Rn 因此当∫有界时,定理的结论成立 若f(x)无界,令o(x)=tgf(x),则(x)≤由上面所证,存在R”上的连续 函数v,使得v=9.令g(x)=tgv(x).则g是R"上的连续函数并且gl=f 理5(Lusi鲁津)设E是R"上的 Lebesgue可测集,f是E上ac有限的 Lebesgue91 证明 先设sup = < +∞. ∈ f M x F 令 }, 3 { M A = −M ≤ f ≤ − }. 3 { f M M B = ≤ ≤ 则 A, B 是两个闭集并且 A ∩ B = ∅. 由引理 3, 存在 n R 上的连续函数 , 1 g 使得 , 3 1 M g A = − . 3 1 M g B = 并且 ≤ x ∈ M g x , 3 ( ) 1 . n R , . 3 2 ( ) ( ) f x − g1 x ≤ M x ∈ F 对函数 1 f − g 应用引理 3, 注意此时 f − g 的上界是 . 3 2 M 因此存在 n R 上的一个连续 函数 2 g , 使得 g x ≤ ⋅ M , x ∈ 3 2 3 1 ( ) 2 . n R , . 3 2 3 2 3 2 ( ) ( ) 2 f x g1 x g2 M  M x ∈ F      − − ≤ ⋅ = 这样一直作下去, 得到 n R 上的一列连续函数{ }, k g 使得  ∈      ≤ ⋅ − g x M x k k , 3 2 3 1 ( ) 1 , n R k = 1,2,L, (4) , , 3 2 ( ) ( ) 1 f x g x M x F k k i i  ∈      −∑ ≤ = k = 1,2,L. (5) 由(4)知道级数∑ ∞ =1 ( ) k k g x 在 n R 上一致收敛. 记其和为 g(x), 则 g(x) 是 n R 上的连续函数. 而(5)表明在 F 上 g(x) = f (x). 并且 , 3 2 3 ( ) ( ) 1 1 1 M M g x g x k k k k  =      ≤ ∑ ≤ ∑ ∞ = − ∞ = x ∈ . n R 因此当 f 有界时, 定理的结论成立. 若 f (x) 无界, 令 ( ) tg ( ), 1 x f x − ϕ = 则 ϕ(x) ≤ . 2 π 由上面所证, 存在 n R 上的连续 函数ψ, 使得ψ = ϕ. F 令 g(x) = tgψ(x) . 则 g 是 n R 上的连续函数并且 g f . F = 定理 5 (Lusin 鲁津) 设 E 是 n R 上的 Lebesgue 可测集, f 是 E 上 a.e.有限的 Lebesgue