2003年考研数学(四)真题评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)极限l[1+m(1+x) 【分析】本题属1型未定式,化为指数函数求极限即可 【详解】mn[+h(1+x)2=lme 2In(l+In(l+x)l 【评注】对于1°型未定式lmf(x)(的极限,也可直接用公式 imf(x)()(1)=e(x进行计算,因此本题也可这样求解 2 lim[1+hn(1+x)I= 【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P23【例1.30】和《文登数学全真模拟试 卷》数学四P29第一大题第(1)小题 2) (对+x)+a=2(1-2e 【分析】对称区间上的积分应注意利用被积函数的对称性,这里有[xex=0 【详解】∫(对+x+-+p++xe+k xe- dx exe e dx 【评注】本题属基本题型,主要考查对称区间上的积分性质和分布积分法 原题见《文登数学全真模拟试卷》数学二P37第一题第(3)小题(完全是原题,答案 也一样),完全类似题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P丌1第一大题第(2)小题. (3) f(x)=8()-a,若0≤x≤1 0.其他而D表示全平面,则1 2003 年考研数学（四）真题评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）极限 x x x 2 0 lim[1+ ln(1+ )] → = 2 e . 【分析】 本题属  1 型未定式，化为指数函数求极限即可. 【详解】 x x x 2 0 lim[1+ ln(1+ )] → = ln[1 ln(1 )] 2 0 lim x x x e + + → = . 2 2 ln(1 ) lim 2 ln[1 ln(1 )] lim 0 0 e e e x x x x x x = = + + + → → 【 评 注 】 对 于  1 型未定式 ( ) lim ( ) g x f x 的极限，也可直接用公式 ( ) lim ( ) g x f x (1 )  = lim( f ( x) 1)g ( x) e − 进行计算，因此本题也可这样求解： x x x 2 0 lim[1+ ln(1+ )] → = . 2 ln(1 ) 2 lim 0 e e x x x =  + → 【评注】 完全类似例题见《数学复习指南》P.23【例 1.30】和《文登数学全真模拟试 卷》数学四 P.29 第一大题第（1）小题. （2） x x e dx x − − + 1 1 ( ) = 2(1 2 ) −1 − e . 【分析】 对称区间上的积分应注意利用被积函数的对称性，这里有 0. 1 1 = − − xe dx x 【详解】 x x e dx x − − + 1 1 ( ) = xe dx xe dx x x  − − − − + 1 1 1 1 = xe dx − x − 1 1 =   − − = − 1 0 1 0 2 2 x x xe dx xde = 2[ ] 1 0 1 0 xe e dx x x  − − − − = 2(1 2 ) −1 − e . 【评注】 本题属基本题型，主要考查对称区间上的积分性质和分布积分法. 原题见《文登数学全真模拟试卷》数学二 P.37 第一题第（3）小题（完全是原题，答案 也一样），完全类似题见《文登数学全真模拟试卷》数学三 P.71 第一大题第（2）小题. （ 3 ） 设 a>0 ， ， a x f x g x 其他 若0 1, 0, , ( ) ( )      = = 而 D 表示全平面，则