§21.1连带 Legendre函数 取k=l即可.于是 Pr( r)P(a)dr=()m/1a(-r2)“-dm」P)dx 出现在等式右端的被积函数是l次 Legendre多项式和另一个l次多项式 (1-22)m d Pi(a) 1 dm m d+m a 的乘积.由18讲第4节的讨论可知,对积分值的唯一贡献就只来自这个多项式的最高幂次项.容 易求出这个最高幂次项的系数是 2)!(+m) 2l!(l-m)!l! 所以,就得到 P(r)P(a)d.c (20)!(+m!/rpi(z)dr 2(2(-m)/1 (+m)!2 (-m)!2+1 或者进一步作变换x=cos6 22￥(cm0PmD≈(+m》2 从原则上说,连带 Legendre函数的许多性质都可由 Legendre多项式的相应性质得到 从略Wu Chong-shi §21.1 ♥♦ Legendre ♣q r 4 s ➧ k = l ↔ ◆✢② ❄❂ Z 1 −1 P m l (x)Pm l (x)dx = (−) m Z 1 −1 d m dxm  ￾ 1 − x 2
m d mPl(x) dxm  Pl(x)dx. ❹➝✶✺❘✩✻✺✚✑ ❽ ❵ ❄ l ❥ Legendre →➣❘✽✪ ❀✘ l ❥ →➣❘ d m dxm  ￾ 1 − x 2
m d mPl(x) dxm  = 1 2 l l! d m dxm  ￾ 1 − x 2
m d l+m dx l+m ￾ x 2 − 1
l  ✺✫✑✢ ➜ 18 ✼✽ 4 ✾ ✺➤➥◆✿ ❂➄ ✑✰ ❼ ✺ ➒❀❀❁❯➊❂ ❃ ❏ ✘ →➣❘✺❄❅❆❥ ➣✢✬ ✭➈ ❹ ❏ ✘ ❄❅❆❥ ➣✺❇❵ ❄ (−) m 1 2 l l! (2l)! (l − m)! (l + m)! l! , ●❍❂❯❱❲ Z 1 −1 P m l (x)Pm l (x)dx = (2l)! 2 l(l!)2 (l + m)! (l − m)! Z 1 −1 x lPl(x)dx = (l + m)! (l − m)! 2 2l + 1 , ❈❉❊❀❋➻✮✯ x = cos θ ❂ Z 1 −1 P m l (cos θ)Pm l (cos θ) sin θdθ = (l + m)! (l − m)! 2 2l + 1 . ô●❍ç Þ❂✑✒ Legendre ìä✛■ ☎ü❏❑ò ▲ Legendre ☎✆✝✛ ð ÷ü❏▼◆✢ ô❖✢