第六章理性生产者 可以证明: 命题1.生产函数∫在有效投入区E中是单调增加的,即对任何x,y∈EⅠ,只要x<y, 就有f(x)<f() 事实上,当x,y∈EI且x<y时,由于y是有效投入方案,f(x)≥f(y)就不可能成立,可 见只有f(x)<f(y)。 有了命题1所述的关于生产函数单调性的事实,我们立即可知 命题2.在假设PF下,生产函数∫在有效投入区内各点处的各个一阶偏导数均非负 事实上,对于任何x∈EI,x>>0,Ax1<0,△x=(0,…0,Ax10,…0),x+△x≥0,我们 有x+Ax<x,从而f(x+△x)<f(x)因为x是有效投入)。这就告诉我们下面的不等式成立: (x)=1fx+Ax)-f()20(h=12…,O 于是,命题2得到证明 命题2说明,在投入为有效的情况下产量呈现出(随要素投入量的增加而)递增至少不下 降的变化趋势 有效投入也可用等产量曲线来刻画(如图6-1所示)。所谓等产量曲线(面),是指要素空 间R中产出相同的各种不同投入向量所组成的集合。产量为Q的等产量曲线面),用L(Q)表 示,是集合L(Q)={x∈R4:f(x)=Q}。与x等产量的等产量曲线是集合L(f(x),也称为通过 投入点x的等产量曲线,简记为Lf(x)。我们有如下的结论: 命题3.设企业的生产函数∫非负、连续,且f(0)=0。x∈R,即x为任投入向量 则x是有效投入当且仅当没有y∈lf(x)能够满足y<x 实际上,若x是有效投入,则显然没有y∈Lf(x)满足y<x 反之,设』∫(x)中没有一种方案y能够满足y<x。假如x不是有效投入方案,那么就存 在着z∈R满足z<x且f(=)≥f(x)。由于L(x)中没有一种方案y能够满足y<x,因此这个 方案二不在Lf(x)中,故f(=)>f(x)。既然f(x)≥0=f(0),所以∫(=)>f(x)≥f(0)。现在, 从∫的连续性可知,存在实数t∈[O,1)使得f()=f(x)。显然,仁<x且∈Lf(x)。这与前 提条件“Lf(x)中没有一种方案y能够满足y<x”相矛盾。可见,x必然是有效投入方案。 命题3得证 脊线(面)与等产量曲线(面)L(⑨的交点称为脊点。显然,脊线是脊点随产量变化而移动 所形成的曲线(曲面)。如图6-1所示,两条脊线分别是由脊点A和B随产量移动形成的轨迹, 有效投入区就是两条脊线所夹的范围第六章 理性生产者 129 可以证明： 命题 1. 生产函数 f 在有效投入区 EI 中是单调增加的, 即对任何 x, yEI ，只要 x  y ， 就有 f (x)  f (y)。 事实上，当 x, yEI 且 x  y 时，由于 y 是有效投入方案， f (x)  f (y) 就不可能成立，可 见只有 f (x)  f (y)。 有了命题 1 所述的关于生产函数单调性的事实，我们立即可知： 命题 2. 在假设 PF 下，生产函数 f 在有效投入区内各点处的各个一阶偏导数均非负。 事实上，对于任何 x EI , x  0 , xh  0 , (0,  ,0, ,0,  ,0) h x = x , x + x  0 ，我们 有 x + x  x ,从而 f (x + x)  f (x) (因为 x 是有效投入)。这就告诉我们下面的不等式成立： 0 ( 1,2, , ) ( ) ( ) ( ) lim 0  =    +  −  = → −  h x f x x f x f x x h h h 于是，命题 2 得到证明。 命题 2 说明，在投入为有效的情况下产量呈现出(随要素投入量的增加而)递增至少不下 降的变化趋势。 有效投入也可用等产量曲线来刻画(如图 6-1 所示)。所谓等产量曲线(面)，是指要素空 间  R+ 中产出相同的各种不同投入向量所组成的集合。产量为 Q 的等产量曲线(面)，用 L(Q) 表 示，是集合 L(Q) ={xR : f (x) = Q} +  。与 x 等产量的等产量曲线是集合 L( f (x)) ，也称为通过 投入点 x 的等产量曲线，简记为 Lf (x) 。我们有如下的结论： 命题 3. 设企业的生产函数 f 非负、连续，且 f (0) = 0 。  R+ x ，即 x 为任一投入向量。 则 x 是有效投入当且仅当没有 yLf (x) 能够满足 y  x。 实际上，若 x 是有效投入，则显然没有 yLf (x) 满足 y  x 。 反之，设 Lf (x) 中没有一种方案 y 能够满足 y  x 。假如 x 不是有效投入方案，那么就存 在着  R+ z 满足 z  x 且 f (z)  f (x) 。由于 Lf (x) 中没有一种方案 y 能够满足 y  x ，因此这个 方案 z 不在 Lf (x) 中，故 f (z)  f (x) 。既然 f (x)  0 = f (0) ，所以 f (z)  f (x)  f (0) 。现在， 从 f 的连续性可知，存在实数 t [0,1) 使得 f (tz) = f (x) 。显然， tz  x 且 tz Lf (x) 。这与前 提条件“ Lf (x) 中没有一种方案 y 能够满足 y  x ”相矛盾。可见， x 必然是有效投入方案。 命题 3 得证。 脊线(面)与等产量曲线(面) L(Q) 的交点称为脊点。显然，脊线是脊点随产量变化而移动 所形成的曲线（曲面）。如图 6-1 所示，两条脊线分别是由脊点 A 和 B 随产量移动形成的轨迹， 有效投入区就是两条脊线所夹的范围