子自旋轨道耦合 Hamiltonian的如下表达式: ieh H 134y2 G·(VφxV) 其中φ是电场的标量势。由于电子的势能是V=-eφ,自旋是S=(h/2)G,动量是p=-iV,所以 它也可以写为 (V×p) 如果电子是处在中心力场中,那么V=(r),VV=(d/t)(/r),代入上式就得到 自s2c2tL.s=5().s 1 1 dv 这一项应该加在原先的(未考虑电子自旋的) Hamitonian中。 同时出现的问题是:现在电子的轨道角动量和自旋角动量都不再守恒(L,§都和LS不对易) 那么应该如何表征电子的状态?我们可以证明:电子的总角动量J=L+S和L·S是对易的,所以它是 守恒量。证明如下。 L.S=∑[,LS小=∑[4,L1S=∑5kLS S,L.S]=∑[S,LSl=∑LS,S]=i25kl,S 所以 ∑k(LS+LS)=0.L 实际上,电子的总角动量本征态也就是LS的本征态。总角动量本征态是2,J2,元的同时本征态,而 所以 2-L2-S2 4m=(+1)-l(+1)-(3/4) j=l+(1/2)时, m 当j=l-(1/2)时, 4m·j 这些结果是很有用的。 作业:习题8.72 子自旋-轨道耦合 Hamiltonian 的如下表达式： 2 2 2 i ˆ ( ), 4 LS e H c    =    其中  是电场的标量势。由于电子的势能是 V e = −  ，自旋是 S = ( / 2) ，动量是 ˆ p = −  i ，所以 它也可以写为 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ( ) , 2 H V p S LS  c =    如果电子是处在中心力场中，那么 V V r V dV dr r r =  = ( ), ( / )( / ) ，代入上式就得到 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) . 2 LS dV H L S r L S c r dr   =    这一项应该加在原先的（未考虑电子自旋的）Hamitonian 中。 同时出现的问题是：现在电子的轨道角动量和自旋角动量都不再守恒（ ˆ ˆ L S , 都和 ˆ ˆ L S 不对易）， 那么应该如何表征电子的状态？我们可以证明：电子的总角动量 ˆ ˆ ˆ J L S = + 和 ˆ ˆ L S 是对易的，所以它是 守恒量。证明如下。 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ , ] [ , ] [ , ] i , i i j j i j j ijk k j j j j L L S L L S L L S L S  = = =    ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ , ] [ , ] [ , ] i , i i j j j i j ijk j k j j j S L S S L S L S S L S  = = =    所以 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ , ] i ( ) 0. i i ijk k j j k j L S L S L S L S +  = + =  ▌ 实际上，电子的总角动量本征态也就是 ˆ ˆ L S 的本征态。总角动量本征态是 2 2 ˆ , , L J Jz 的同时本征态，而 ( ) 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ J L S L S L S = + = + +  2 , 所以 ( ) 2 2 2 2 ˆ ˆ ( 1) ( 1) (3/ 4) . 2 2 j j j ljm ljm ljm J L S j j l l L S      − − + − + −  = =       当 j l = + (1/ 2) 时， ( ) ˆ ˆ 2 1 , 2 2 j j lj m lj m l L S j l      = = +     当 j l = − (1/ 2) 时， ( ) ˆ ˆ 1 1 2 . 2 2 j j ljm ljm l L S j l   +    = − = −     这些结果是很有用的。 作业：习题 8.7