定理3(第二充分条件)设f(x)在x处具有二阶导数 且f(x)=0,f(x0)≠0,那末 (1)当f(x0)<0时,函数f(x)在x0处取得极大值; (2)当f(x)>0时,函数f(x)在x处取得极小值 证(1)∵∫"(x)=lim f(x+△x)-f(x<0, △x→0 △ 故f(x0+Ax)-f(x0)与△x异号, 当Ax<0时,有f(x0+Ax)>f(x)=0, c当△x>时,有(xn+A)<f(x)=0, 所以,函数f(x)在x处取得极大值.同理可证(2)设 f (x)在 0 x 处具有二阶导数, 且 ( 0 ) 0 ' f x = , ( 0 ) 0 '' f x  , 那末 (1)当 ( 0 ) 0 '' f x  时, 函数 f (x)在x0 处取得极大值; (2)当 ( ) 0 0 '' f x  时, 函数 f (x)在 0 x 处取得极小值. 定理3(第二充分条件) 证 (1) x f x x f x f x x   +  −   =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0  0  0, 故f (x0 + x) − f (x0 )与x异号， 当x  0时， ( ) ( ) 0 x0 有f  x + x  f  = 0, 当x  0时， ( ) ( ) 0 x0 有f  x + x  f  = 0, 所以，函数 f (x)在x0 处取得极大值． 同理可证(2)