x(-f,(x)s[x(h-pOd+pouh-f(p)+(p)-(x <(b-a)E+ p(odr-f,(p)+ ME 由上面所说,取n0足够大,当n≥m0时中间一项可小于ε,从而 ()= x(di 例3( Fourier级数的发散问题)我们要证明下面命题: 对于每一点t0∈[-z,],存在函数x∈C[-r,z]使得x的 Fourier级数在t0发散 考虑x的 Fourier级数的部分和序列 S,()(=0+2(ar cos kt+B, sin kt), n20 其中 x(1) cos kid,k≥0 BK 实际计算可以得出 n+-)t-s) S,(x)0=I x(s) sin 容易知道Sn(x)是CI-x,丌]上的线性算子。若固定t0∈[-x,丌],则Sn(x)t0)是C-z,]上 的线性泛函。不失一般性,我们就t。=0证明所说的结论 设∫n(x)=Sn(x)(0),若x∈C-π,丌],∫n(x)都收敛,由共鸣定理知道f,是范数有 界的,即M>0,fsM,n≥1.现在我们可以算出|f.实际上,由上一讲例7, sIn(n 22 sin(2n+D) sin( znt 2 sin(2n+1)x(t)dt f (x) x(t)dt p(t)dt p(t)dt f ( p) f ( p) f (x) n n b a n b a b a b a − n ≤ − + − + − ∫ ∫ ∫ ∫ ≤ (b − a)ε + ∫ − b a p(t)dt f n ( p) ＋ Mε. 由上面所说，取 0 n 足够大，当 0 n ≥ n 时中间一项可小于 ε，从而 ∫ = →∞ b a n n lim f (x) x(t)dt. 例 3 (Fourier 级数的发散问题) 我们要证明下面命题： 对于每一点 [ , ] t 0 ∈ −π π ，存在函数 x∈C[−π ,π ]使得 x 的 Fourier 级数在 0t 发散. 考虑 x 的 Fourier 级数的部分和序列 ∑= = + + n k n k k S x t kt kt 1 0 ( cos sin ) 2 ( )( ) α β α ， n ≥ 0. 其中 ∫− = ≥ π π π α ( ) cos , 0 1 x t ktdt k k ∫− = ≥ π π π β ( )sin , 1. 1 x t ktdt k k 实际计算可以得出 ∫− − + − = π π π x s ds t s n t s S x t n ( ) 2 sin )( ) 2 1 sin( 2 1 ( )( ) （8） 容易知道 S (x) n 是C[−π ,π ]上的线性算子。 若固定 [ , ] t 0 ∈ −π π ，则 ( )( ) 0 S x t n 是C[−π ,π ]上 的线性泛函。不失一般性，我们就 0 t 0 = 证明所说的结论． 设 f (x) S (x)(0), n = n 若 ] ∀x∈C[−π ,π ， f (x) n 都收敛，由共鸣定理知道 n f 是范数有 界的， 即 ∃M > 0, f ≤ M , n ≥1. n 现在我们可以算出 n f ．实际上，由上一讲例 7， ds s n s f n ∫− + = π π π 2 sin ) 2 1 sin( 2 1 ds s n s ∫ + = 2 0 sin 2 sin(2 1) π π ≥ ds s 2 sin(2n 1)s 2 0 + ∫ π π ds s n s n k n k n k 2 sin(2 1) 2(2 1) ( 1) 2(2 1) 2 0 + = ∑ ∫ + + + = π π π