第十六章偏导数与全微分 §1偏导数与全徽分概念 这部分要掌握的 1、连续、偏导数、可微三个概念的定义; 2、连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 元函数的连续、偏导数、可微的概念都是用极限定义的,不同的概念对应不同的极限,切 勿混淆。考虑函数f(x,y)在(x,y)点的情形,则它们分别为 f(x,y)在点(x0,y)连续定义为:lmnf(x,y)=f(x0,y) y→y0 f(x,y)在点(x0,y)存在偏导数定义为 f(o,yo)=lin f(x, yo)-f(xo, yo2 ok f(ro, yo)= lim /(xo+Ar, yo)-f(ro, yo) f, (ro,yo)=lin f(xo, y)-/o, o pk /, (xo, yo)=lim /(o, yo+Ay)-f(xo, yo) f(x,y)在点(x0,y)可徽定义为 f(xo+Ax,yo +Ay)-f(xo, yo)-f(xo, yo )Ax-f(o, yo )Ay 因此,要讨论f(x,y)点(x,y)的可微性,首先要求∫(x0,y0),f∫(x0,y)。这三个概念之间 的关系可以用下图表示(在(x0,y0)点) ∫连续 f,,J连续 f∫可微 ∫x,J,存在 在上述关系中,反方向均不成立。下面以(x0,y)=(0,0)点为例,逐一讨论 0 例1:f(x,y) 0 0 这是教材中的典型例题,x(00)=J,(0.0)=0均存在,但f(x,y)在(0,0)点不可微,且 imf(x,y)不存在,即f(x,y)在(0,0)点不连续1 第十六章 偏导数与全微分 §1 偏导数与全微分概念 这部分要掌握的 1、 连续、偏导数、可微三个概念的定义； 2、 连续、偏导数、可微三个概念之间的关系； 二元函数的连续、偏导数、可微的概念都是用极限定义的，不同的概念对应不同的极限，切 勿混淆。考虑函数 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 点的情形，则它们分别为： f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 连续定义为： lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y y y x x = → → f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 存在偏导数定义为： 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 x x f x y f x y f x y x x x − − = → 或 x f x x y f x y f x y x x x  +  − =  → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 y y f x y f x y f x y y y y − − = → 或 y f x y y f x y f x y y y y  +  − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 可微定义为： 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 =  +  +  +  − −  −   →  → x y f x x y y f x y f x y x f x y y x y y x 因此，要讨论 f (x, y) 点 ( , ) 0 0 x y 的可微性，首先要求 ( , ) 0 0 f x y x ， ( , ) 0 0 f x y y 。这三个概念之间 的关系可以用下图表示（在 ( , ) 0 0 x y 点） 3 1 2 4 在上述关系中，反方向均不成立。下面以 ( , ) (0,0) x0 y0 = 点为例，逐一讨论。 4  2 ，4  3 例 1：      + = +  = + 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 这是教材中的典型例题， f x (0,0) = f y (0,0) = 0 均存在，但 f (x, y) 在 (0,0) 点不可微，且 lim ( , ) 0 0 f x y y x → → 不存在，即 f (x, y) 在 (0,0) 点不连续。 x f ， y f 连续 f 可微 f 连续 x f ， y f 存在