第三章向量值函数与空间曲线 当k(s)≠0时,称R)=为曲线严)在点s处的曲率半径 k(s) 在弗雷耐标架中,由于T()=(s),了(s)=(s),而N()= 故 7(s)=|(s)N(s)=k(s)N(s) 我们称向量k(s)N(s)为曲线(s)在点s处的曲率向量。 由向量f(s)+R(s)N(s)表示的点Q称为曲线在点s处的曲率中心 在点s的密切平面上,以曲率中心Q为圆心,曲率半径R(s)为半径的圆M, 称M为曲线在点s处的密切圆。 显然,密切圆与曲线在点s相切,而且在点s它们有相同的曲率,工程中常 常用密切圆的一段弧来近似代替点s邻近的一段曲线。 曲率的几何意义,我们先证一个引理 设l()是单位向量函数,△=e(+△n)-e(),而△为e(+△)和()的夹 角,则 事实上,按照向量函数导数的定义,有 △O 2SI 由曲率的定义和(=1及上述结果,得 =|(s州 式中△是T(s+As)和r(s)的夹角。所以,曲线在一点处的曲率就是曲线在该点 的切向量倾角对其弧长的变化率,或称切线对弧长的转动率,这就是曲率的几何 意义 例1求圆柱螺线产()=( acost asin t b)的曲率。 f F(=(acost, a sin t, bt) (=(-acost,-asin t,O) (o Va2+b2 (asin t, a cost, b) dtdt ds ds dt / dr (acost, -asin t,0) b2√a2+b (cost, -sin t,O) 故 ds b2 第三章向量值函数与空间曲线 2第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 2 当 k(s)0 时，称 ( ) k(s) R s 1 = 为曲线 r(s)  在点 s 处的曲率半径. 在弗雷耐标架中，由于 T(s) = r (s)   ,T (s) = r (s)   , 而 ( ) ( ) r (s) r s N s      = ，故 T (s) r (s) N(s) k(s)N(s)      =  = 我们称向量 k(s)N(s)为曲线 r(s)  在点 s 处的曲率向量。 由向量 r(s) R(s)N(s)   + 表示的点 Q 称为曲线在点 s 处的曲率中心。 在点 s 的密切平面上，以曲率中心 Q 为圆心，曲率半径 R(s)为半径的圆 M ， 称 M 为曲线在点 s 处的密切圆。 显然，密切圆与曲线在点 s 相切，而且在点 s 它们有相同的曲率，工程中常 常用密切圆的一段弧来近似代替点 s 邻近的一段曲线。 ⚫ 曲率的几何意义，我们先证一个引理。 设 e(t)  是单位向量函数， e e(t t) e(t)     = +  − ，而  为 e(t + t)  和 e(t)  的夹 角，则 dt t de t t   =  →  0 lim ( )  事实上，按照向量函数导数的定义，有 t t t t e dt de t t t t   =    =   =  →  →  →   0 0 0 lim 2sin lim lim ( )   由曲率的定义和 T(s) = 1  及上述结果，得 ds s dT s k s r s t   =  = =  →  0 lim ( ) ( ) ( )   . 式中  是 T(s + s)  和 T(s)  的夹角。所以，曲线在一点处的曲率就是曲线在该点 的切向量倾角对其弧长的变化率，或称切线对弧长的转动率，这就是曲率的几何 意义。 例 1 求圆柱螺线 ( ) ( ) T r t = a cost asin t bt  的曲率。 ( ) ( ) ( ) T T T r t a t a t r t a t a t b r t a t a t bt ( cos , sin ,0) ( sin , cos , ) ( cos , sin , )  = − −  = − =    解 ( ) ( cos , sin ,0) ( cos , sin ,0) 1 1 ( sin , cos , ) 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 t t a b a a t a t dt a b a b ds dt dT ds dT a t a t b r t a b r t ds dr T s T − − + = − − + + = = − + =   = =       故 2 2 a b a ds dT k + = = 