Vol.18 No.6 陈兆斗等：Gauss整环上的二维AFT算法 ·591 管系数Cm的表达形式不同，但归纳起来这些算法在计算遇到的问题是当C。+0或Cm。+0 时，一维AFT算法将难以处理，必须假定它们都为0.这样就不可能使二维AFT算法在 Fourier系数的计算中得到应用.可见，二维AFT算法的理论尚不完善，本文的工作是较完善 地解决了这个问题. 2基本公式和符号 设K是复数域中含有数1的非空子集，对于乘法构成唯一分解半群，U是K中所有单位 元组成的非空子集，称为单位集.以下均假定K是可列集，U中元素是有限的.对于a,bEK,若 存在ceK使得a=bc,则称b整除a,记为bla.若bla且alb则称a,b是相伴的，记为a~b, 这时存在eeU使得a=be. 对任何aeK,aU有既约分解： a=pp (5) 其中εEU,k≥1，P,是K中互不相伴的既约元(i=1,2,…,).在相伴的意义下分解式(5)是唯 一的.K上的Mobius函数定义为： 当aeU -1) 当aEU且式(5)中k=k2=…=k,=1 (6) 0 当a含有平方因子 由于相伴元只相差一个单位因子，所以当a与b相伴时4(@)=4(b),即相伴元的Mobius函数 值相等 【定理1】唯一分解半群上的Mobius反演公式 设Fa,Ha是定义在K上的函数，单位集U={e1e2,…,eN}.如果对任何ceK恒有： He)=Fae) (7) 并且级数∑F(abc)绝对收敛，则对任何cEK有M6bius反演公式： a,bEK Rced+rce,)+…+ceJ=4aMa） (8) 其中u(a)是K上的M6bius函数，见文献[3]. 【定理2】梳状6函数的公式 三e=2n芝a0e-2m (9) 见文献[4】. 3 Gauss整环上的二维AFT算法 文中约定二维Fourier级数(4)式中的系数Cmh由下式确定： Cy)emdx dy (10)陈兆斗等 整 环上 的二 维 算法 管 系数 气 ，。 的表达形 式不 同 ， 但 归纳起来这些算法 在计算遇 到 的 问题是 当 。 羊 或 气 ， 。 羊 时 ， 一 维 算 法 将 难 以 处 理 ， 必 须 假 定 它 们 都 为 这 样 就 不 可 能 使 二 维 算 法 在 系 数 的计 算 中得 到 应 用 可 见 ， 二 维 算 法 的理 论 尚不 完善 本 文 的工 作是 较 完善 地解 决 了 这个 问题 基本公式和符号 设 是 复 数域 中含 有数 的非 空 子集 ， 对于乘 法 构 成 唯 一分解 半 群 ， 是 中所有 单位 元 组成 的非 空 子集 ， 称 为单位集 以 下 均假定 是 可 列集 ， 中元 素是 有 限 的 对于 “ ， ‘ ， 若 存 在 ‘ 使得 “ ， 则 称 整 除 ， 记 为 若 且 则 称 ， 是 相 伴 的 ， 记 为 “ 一 ， 这 时存在 ￡ ‘ 使得 瓦 · 对任何 ， 必 有 既 约分解 口 一 。 尸 尸全… 尸介 其 中 ， 气七 ， ‘ 是 中互 不相 伴 的既 约元 ， ， …， · 在相 伴 的意 义下 分解 式 是 唯 一 的 上 的 函数定 义 为 ， ·，一 一 ， ， 当 当 “ 偌 且 式 中 ， 气 … 二 凡二 当 含有 平 方 因子 由于相 伴元 只 相 差一 个单位 因子 ， 所 以 当 “ 与 相 伴 时 风 风 ， 即相 伴元 的 函数 值相 等 【定理 唯 一分解 半 群 上 的 反 演公 式 设 月 ， 是 定义在 上 的 函 数 ， 单位集 一 ￡ ， 。 ，… ，￡、 · 如果 对任何 。 ‘ 恒有 乏 并且 级 数 艺 绝对收敛 ， 则 对任何 。 〔 有 反 演公 式 ， ‘ ， 月 … 凡 ￡户一 去叉 拭 二 ， 口 〔 式 其 中 拜 是 上 的 函数 ， 见 文 献 【 【定理 梳状 函 数 的公 式 艺 淞 二 艺 一 二 见 文 献 】 整环上 的二维 算法 文 中约定 二 维 级数 式 中的系 数 气 ， 、 由下 式 确 定 气 ， 。 一 命去从 ，，。 一 ’ ‘ 即